mécanique (PCSI) · Chapitre 4 · Application directe du cours

Échange d'énergie

Oscillateurs mécaniques · niveau 2

Énoncé

Pour $x (t) = X_{m} cos (ω_{0} t)$ , vérifier que $E_{m}$ est constante et calculer les valeurs moyennes de $E_{c}$ et $E_{p}$ sur une période.

Corrigé

$E_{p} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} cos^{2} (ω_{0} t)$ et $E_{c} = \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} X_{m}^{2} sin^{2} (ω_{0} t) = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} sin^{2} (ω_{0} t)$ (car $m ω_{0}^{2} = k$ ). Leur somme $E_{m} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} (cos^{2} + sin^{2}) = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}$ est constante. Comme $⟨ cos^{2} ⟩ = ⟨ sin^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ , on a $⟨ E_{c} ⟩ = ⟨ E_{p} ⟩ = \frac{1}{4} k X_{m}^{2}$ .

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