Frottement solide ou fluide ?

1) Un demi-cycle harmonique décalé. Tant que $\dot{x}<0$ (le palet revient de $x_0>0$), le frottement est dirigé vers les $x$ croissants : $m\ddot{x}=-kx+f$, soit $m\ddot{x}=-k(x-\frac{f}{k})$. C'est un oscillateur harmonique de pulsation ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ centré en $x_c=+f/k$. Tant que $\dot{x}>0$, le centre est en $-f/k$. Le mouvement est une succession de demi-oscillations harmoniques, chacune d'une durée $T_0/2=\pi /{\omega }_0$, autour de centres alternés. Une demi-oscillation harmonique partie du repos en $x_n$ s'arrête au symétrique de $x_n$ par rapport au centre : de $x_0$, autour de $f/k$, on arrive en $\frac{2f}{k}-x_0$.

2) Le bilan d'énergie. Entre deux arrêts, l'énergie cinétique est nulle au départ et à l'arrivée ; l'énergie mécanique se réduit à $\frac{1}{2}k{x}^2$. Le frottement, de norme constante et opposé au mouvement, travaille de $-f$ fois la distance parcourue, $|x_n|+|x_{n+1}|$. Le théorème de l'énergie mécanique donne $$\frac{1}{2}k{x}_{n+1}^2-\frac{1}{2}k{x}_n^2=-f(|x_n|+|x_{n+1}|).$$ On factorise le membre de gauche, $\frac{1}{2}k(|x_{n+1}|-|x_n|)(|x_{n+1}|+|x_n|)$, et l'on simplifie par $|x_n|+|x_{n+1}|>0$ : $$|x_n|-|x_{n+1}|=\frac{2f}{k}.$$ On retrouve le résultat du 1) : la symétrie par rapport au centre $\pm f/k$ fait perdre $2f/k$ à chaque demi-oscillation.

3) Les valeurs. $\frac{2f}{k}=1,0\mathrm{cm}$, et le seuil d'arrêt est $\frac{f}{k}=0,5\mathrm{cm}$. Les élongations successives sont $10,3$ ; $-9,3$ ; $8,3$ ; $-7,3$ ; $6,3$ ; $-5,3$ ; $4,3$ ; $-3,3$ ; $2,3$ ; $-1,3$ ; $0,3\mathrm{cm}$. À chaque arrêt on vérifie la condition : en $-1,3\mathrm{cm}$, $k|x|=0,26\mathrm{N}>f$, le palet repart ; en $+0,3\mathrm{cm}$, $k|x|=0,06\mathrm{N}\le f$, il s'arrête définitivement. Il y a eu dix demi-oscillations, soit $5T_0$, avec $T_0=2\pi \sqrt{m/k}\approx 0,99\mathrm{s}$ : le mouvement dure environ $5,0\mathrm{s}$ et s'achève en $x=+0,3\mathrm{cm}$, pas à la position d'équilibre du ressort.

4) Le frottement visqueux. Les élongations successives forment une suite géométrique (exercice précédent) : chacune est la précédente multipliée par ${\mathrm{e}}^{-\delta /2}$. Elles tendent vers zéro sans jamais l'atteindre : le mouvement ne s'arrête pas en un temps fini, et l'équilibre est exactement $x=0$. Lecture énergétique. Avec un frottement visqueux, l'énergie perdue par cycle est proportionnelle au carré de l'amplitude, donc à l'énergie elle-même : la perte relative est constante. Avec un frottement solide, elle est proportionnelle à l'amplitude seule : la perte relative croît quand l'amplitude décroît, et le mouvement s'éteint brutalement.

5) Trancher sur un relevé. On trace les maxima $x_n$ en fonction de $n$, et $\ln x_n$ en fonction de $n$. Frottement solide : $x_n$ est une fonction affine de $n$ (suite arithmétique), et le graphe de $\ln x_n$ s'incurve vers le bas. Frottement visqueux : $\ln x_n$ est affine (suite géométrique), et le graphe de $x_n$ s'incurve en s'aplatissant. Un oscillateur réel montre souvent les deux : géométrique aux grandes amplitudes, arithmétique à la fin.

Ce que l'exercice installe. Prévoir l'évolution d'un oscillateur par un bilan d'énergie entre deux états où la vitesse est nulle, sans résoudre. Distinguer les deux frottements par leur signature : arrêt en temps fini et décroissance arithmétique d'un côté, décroissance géométrique sans fin de l'autre. Et une méthode de physicien : un graphe bien choisi (linéaire ou logarithmique) fait apparaître la loi.