mécanique (PCSI) · Chapitre 4 · Application directe du cours

L'amortisseur de masse accordée du gratte-ciel

Oscillateurs mécaniques · niveau 2

Énoncé

Au sommet de la tour Taipei 101 ( $508 m$ ) est suspendue une sphère d'acier de $660 t$ , retenue par de longs câbles. Quand le vent fait osciller le bâtiment, ce gigantesque pendule oscille en opposition et absorbe l'énergie : c'est un amortisseur de masse accordée. La tour, modélisée par un oscillateur, a une période propre $T_{b} \approx 7, 0 s$ .

Donner la fréquence propre $f_{b}$ du bâtiment.
En modélisant la masse par un pendule simple de longueur $ℓ$ , exprimer sa fréquence propre $f_{0}$ . Quelle est la condition d'accord ?
En déduire la longueur de câble $ℓ$ . Compatible avec une suspension sur quelques étages ?

Corrigé

1. $f_{b} = \frac{1}{T _{b}} = \frac{1}{7 , 0 s} \approx 0, 14 Hz$ .

2. Pour un pendule simple, $T_{0} = 2 π ℓ / g$ , d'où $f_{0} = \frac{1}{2 π} \frac{g}{ℓ}$ . L'accord consiste à régler $ℓ$ pour que $f_{0} = f_{b}$ .

3. $f_{0} = f_{b}$ équivaut à $T_{0} = T_{b}$ , soit $ℓ = g (\frac{T _{b}}{2 π})^{2} = 9, 81 \times (\frac{7 , 0}{2 π})^{2} \approx 12 m$ . Une douzaine de mètres correspond bien à une suspension sur quelques étages — c'est l'ordre de grandeur réel de la tour Taipei 101.

Important

Ce que ça nous apprend. Accorder un oscillateur secondaire sur la fréquence propre de la structure permet de lui transférer l'énergie de vibration : c'est l'amortisseur de masse accordée, qui transforme la résonance en outil de stabilisation.

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