Le sismographe : excitation par le support

1) L'équation. Système : la masse $m$, dans le référentiel terrestre. Les forces sont le poids, la force du ressort et celle de l'amortisseur ; à l'équilibre, le poids est compensé par la tension statique du ressort, et il reste, en comptant $z$ à partir de cet équilibre, $-kz-h\dot{z}$. La loi de la quantité de mouvement s'écrit avec l'accélération absolue $\ddot{x}=\ddot{z}+\ddot{y}$ : $$m(\ddot{z}+\ddot{y})=-kz-h\dot{z}⟹m\ddot{z}+h\dot{z}+kz=-m\ddot{y}.$$ Tout se passe comme si la masse, immobile au départ par rapport au bâti, subissait la force $-m\ddot{y}=m{\omega }^{2}Y\cos \omega t$ : le mouvement du support se traduit par une force proportionnelle à son accélération.

Le point délicat. La force du ressort dépend de l'allongement, donc du mouvement relatif ; mais la loi de Newton porte sur l'accélération absolue, dans le référentiel galiléen. Confondre les deux ferait disparaître le forçage.

2) La réponse. En complexes, $-\ddot{y}$ s'écrit ${\omega }^2\underline{Y}$, d'où $(k-m{\omega }^2+ih\omega )\underline{Z}=m{\omega }^2\underline{Y}$, et, en divisant par $k$ : $$\frac{\underline{Z}}{\underline{Y}}=\frac{u^2}{1-u^2+iu/Q},\frac{|\underline{Z}|}{Y}=\frac{u^2}{\sqrt{(1-u^2{)}^2+u^2/Q^2}}.$$ Hautes fréquences, $u\gg 1$ : $\frac{\underline{Z}}{\underline{Y}}\to -1$ ; $z\simeq -y$, donc $x=y+z\simeq 0$. La masse reste immobile dans le référentiel terrestre — son inertie l'empêche de suivre des secousses rapides — et l'enregistrement reproduit le déplacement du sol (au signe près). C'est le fonctionnement en sismographe. Basses fréquences, $u\ll 1$ : $\underline{Z}\simeq u^2\underline{Y}=\frac{{\omega }^2\underline{Y}}{{\omega }_0^2}=-\frac{\underline{\ddot{y}}}{{\omega }_0^2}$ : l'enregistrement est proportionnel à l'accélération du sol. C'est le fonctionnement en accéléromètre. Entre les deux, l'instrument se comporte comme un filtre qui laisse passer les hautes fréquences.

3) L'instrument donné. ${\omega }_0=\sqrt{40}\approx 6,3\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f_0\approx 1,0\mathrm{Hz}$, et $Q=\frac{m{\omega }_0}{h}\approx 1,6$. On calcule $|\underline{Z}|/Y\approx 0,04$ ; $0,31$ ; $1,58$ ; $1,23$ ; $1,03$ pour $u=0,2$ ; $0,5$ ; $1$ ; $2$ ; $5$. Le défaut : une résonance, avec un maximum d'environ $1,67$ un peu au-dessus de $f_0$. Les composantes du séisme voisines de $1\mathrm{Hz}$ sont amplifiées de $60\%$ par l'instrument lui-même, et une secousse brève le fait osciller à sa propre fréquence pendant quelques périodes : l'enregistrement mélange le séisme et la réponse de l'appareil.

4) Le réglage sans résonance. Avec $w=1/u^2$, on a $(\frac{|\underline{Z}|}{Y}{)}^2=\frac{1}{(w-1{)}^2+w/Q^2}$ : le dénominateur est exactement la fonction $g$ de l'exercice précédent. Il admet un minimum pour $w>0$ si et seulement si $Q>1/\sqrt{2}$ ; donc la réponse est monotone (sans maximum) si et seulement si $Q\le 1/\sqrt{2}$. Pour $Q=0,7$ : $|\underline{Z}|/Y\approx 0,04$ ; $0,24$ ; $0,70$ ; $0,97$ ; $0,998$. La réponse croît sans dépasser $1$ : à $5\mathrm{Hz}$, le sol est reproduit à $0,2\%$ près, et le transitoire propre s'éteint en une période. Il faut $h=\frac{m{\omega }_0}{0,7}\approx 9,0\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le choix $Q\simeq 1/\sqrt{2}$ donne la réponse la plus plate possible sans pic : c'est le réglage standard des capteurs.

Ce que l'exercice installe. Quand c'est le support qui bouge, on écrit la loi de Newton avec l'accélération absolue et les forces avec le mouvement relatif : le forçage apparaît comme $-m\ddot{y}$. Une fonction de transfert s'étudie par ses limites basses et hautes fréquences, qui disent ce que l'instrument mesure. Et l'on choisit $Q\simeq 0,7$ pour supprimer la résonance sans ralentir la réponse.