Le tunnel à travers la Terre

1) Un oscillateur harmonique déguisé. Soit $\overrightarrow{u}$ le vecteur unitaire du tunnel et $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{OH}/b$, perpendiculaire au tunnel. La position s'écrit $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HM}=b\overrightarrow{n}+x\overrightarrow{u}$. La force est donc $$\overrightarrow{F}=-\frac{m{g}_0}{R}(b\overrightarrow{n}+x\overrightarrow{u}).$$ Sa composante sur $\overrightarrow{n}$, constante, est compensée par la réaction des parois du tunnel (sans frottement, donc perpendiculaire à $\overrightarrow{u}$) ; sa composante sur $\overrightarrow{u}$ vaut $-\frac{m{g}_0}{R}x$. La loi de la quantité de mouvement projetée sur $\overrightarrow{u}$ donne $$m\ddot{x}=-\frac{m{g}_0}{R}x⟹\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,{\omega }_0=\sqrt{\frac{g_0}{R}}.$$ Ce qu'on remarque. La pulsation ne dépend ni de $b$, ni de la masse : tous les tunnels, quelle que soit leur direction, ont le même oscillateur.

2) La durée du trajet. Lâché sans vitesse en $P$ ($x=-L$), le wagon oscille entre $-L$ et $+L$ : $x(t)=-L\cos {\omega }_{0}t$. Il atteint $P^{\prime }$ au bout d'une demi-période : $$t_{P{P}^{\prime }}=\frac{\pi }{{\omega }_0}=\pi \sqrt{\frac{R}{g_0}}\approx 2532\mathrm{s}\approx 42\min .$$ Quelle que soit la destination, Paris–Londres ou Paris–Tokyo, le trajet dure $42$ minutes : c'est l'isochronisme de l'oscillateur harmonique, appliqué à des amplitudes de quelques centaines à plusieurs milliers de kilomètres. Les longs tunnels sont plus profonds, donc plus pentus : ce qu'ils ont en plus à parcourir, ils le parcourent plus vite.

3) La vitesse maximale. Par la solution horaire : $\dot{x}=L{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t$, maximale en $H$, $v_{\max }={\omega }_{0}L$. Par l'énergie : $\overrightarrow{F}=-\frac{m{g}_0}{R}r{\overrightarrow{e}}_r$ dérive de $E_{\mathrm{p}}=\frac{m{g}_0}{2R}{r}^2$ (on vérifie $-\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}r}=-\frac{m{g}_0}{R}r$). La réaction ne travaille pas, l'énergie mécanique se conserve ; avec $r^2=b^2+x^2$ : $$\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{m{g}_0}{2R}(b^2+x^2)=\frac{m{g}_0}{2R}(b^2+L^2)⟹v^2={\omega }_0^2(L^2-x^2),$$ maximale en $x=0$ : $v_{\max }={\omega }_{0}L$. Le terme $b^2$ s'est simplifié : c'est la traduction énergétique de l'indépendance vis-à-vis de $b$.

Applications. Un arc de longueur $s$ le long de la surface intercepte l'angle au centre $s/R$ ; la demi-corde vaut $L=R\sin \frac{s}{2R}$ et la profondeur maximale $R-b=R(1-\cos \frac{s}{2R})$.

• Paris–Londres : $L\approx 172\mathrm{km}$, $v_{\max }\approx 213\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (les trois quarts de la vitesse de croisière d'un avion de ligne) ; profondeur $2,3\mathrm{km}$.
• Paris–Tokyo : corde $2L\approx 8797\mathrm{km}$, $v_{\max }\approx 5,46\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$, profondeur maximale $\approx 1762\mathrm{km}$ — on traverse le manteau.

4) Le satellite rasant. En orbite circulaire de rayon $R$, la gravitation fournit l'accélération centripète : $m{g}_0=m\frac{v^2}{R}$, d'où $v=\sqrt{g_{0}R}\approx 7,9\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ et une période $\frac{2\pi R}{v}=2\pi \sqrt{\frac{R}{g_0}}\approx 84\min$ : exactement la période du tunnel. L'explication géométrique. Un mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ et de vitesse angulaire ${\omega }_0$, projeté sur un diamètre, donne $R\cos {\omega }_{0}t$ : un mouvement harmonique de même pulsation. Et l'accélération du satellite, $-{\omega }_0^2\overrightarrow{OM}$, a pour projection sur ce diamètre $-{\omega }_0^{2}x$ : c'est exactement la force du tunnel diamétral. Le wagon et l'ombre du satellite sur le diamètre avancent ensemble.

Ce que l'exercice installe. Reconnaître un oscillateur harmonique, c'est trouver une force de rappel proportionnelle à l'écart le long de la direction du mouvement : ici, une projection fait apparaître ce qui était caché. L'isochronisme a une conséquence spectaculaire (même durée pour tous les trajets), et la projection d'un mouvement circulaire uniforme est le modèle géométrique de toute oscillation harmonique.