Le verre brisé par la voix

1) L'amplitude complexe. En régime forcé, on cherche $x=\mathrm{Re}\left(\underline{X}{\mathrm{e}}^{i\omega t}\right)$ ; la dérivation devient la multiplication par $i\omega$, et l'équation devient algébrique : $(k-m{\omega }^2+ih\omega )\underline{X}=F_m$. En divisant par $k$ et en posant $u=\omega /{\omega }_0$, avec $\frac{h\omega }{k}=\frac{h}{m{\omega }_0}\cdot \frac{\omega }{{\omega }_0}=\frac{u}{Q}$ : $$\underline{X}=\frac{F_m/k}{1-u^2+iu/Q},X=|\underline{X}|=\frac{X_0}{\sqrt{(1-u^2{)}^2+u^2/Q^2}},X_0=\frac{F_m}{k}.$$ $X_0$ est la réponse statique : celle qu'on obtiendrait à pulsation nulle, la force constante $F_m$ étirant simplement le ressort.

2) La résonance. $X$ est maximale quand le radicande $g(w)=(1-w{)}^2+\frac{w}{Q^2}$ est minimal, avec $w=u^2\ge 0$. On a $g^{\prime }(w)=-2(1-w)+\frac{1}{Q^2}$, qui s'annule en $w^{\ast }=1-\frac{1}{2Q^2}$ ; $g$ est une parabole tournée vers le haut. Si $w^{\ast }>0$, c'est-à-dire $Q>1/\sqrt{2}$, le minimum est atteint en $w^{\ast }$ et $X$ passe par un maximum en ${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{w^{\ast }}$ : il y a résonance. Si $Q\le 1/\sqrt{2}$, $g$ est croissante sur $[0,+\infty [$ et $X$ décroît dès $\omega =0$ : pas de résonance. Au maximum : $$g(w^{\ast })=\frac{1}{4Q^4}+\frac{1}{Q^2}-\frac{1}{2Q^4}=\frac{4Q^2-1}{4Q^4},X_{\max }=X_0\frac{2Q^2}{\sqrt{4Q^2-1}}.$$ Pour $Q\gg 1$ : ${\omega }_r\simeq {\omega }_0(1-\frac{1}{4Q^2})\simeq {\omega }_0$ et $X_{\max }=\frac{Q{X}_0}{\sqrt{1-1/(4Q^2)}}\simeq Q{X}_0$. Le point délicat : la résonance d'amplitude n'a pas lieu exactement en ${\omega }_0$, et elle n'existe pas pour tout $Q$ ; le seuil $1/\sqrt{2}$ n'est pas le seuil $1/2$ du régime libre.

3) Verre ordinaire et cristal. Pour $Q=30$ : $X_{\max }/X_0\approx 30,004$, et $f_r=f_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}\approx 659,8\mathrm{Hz}$ si $f_0=660\mathrm{Hz}$. Pour $Q=1000$ : $X_{\max }/X_0\approx 1000$, et $f_r$ ne diffère de $f_0$ que de $2\times 10^{-4}\mathrm{Hz}$. À même intensité sonore, le cristal vibre plus de trente fois plus fort que le verre ordinaire.

4) La largeur. $\Delta f\simeq \frac{f_0}{Q}=\frac{660}{1000}\approx 0,66\mathrm{Hz}$ : la chanteuse doit tenir sa note à $\pm 0,3\mathrm{Hz}$ près, soit une précision relative de $5\times 10^{-4}$ — moins d'un centième de demi-ton. Pour le verre ordinaire, $\Delta f\approx 22\mathrm{Hz}$ : facile à atteindre, mais l'amplification est trop faible pour briser.

5) Pourquoi le cristal casse. Un grand $Q$ signifie de faibles pertes : à chaque période, l'excitation apporte un peu d'énergie, et le verre en dissipe peu ; l'énergie s'accumule jusqu'à ce que l'amplitude atteigne $Q$ fois l'amplitude statique. Les contraintes dans le verre croissent avec l'amplitude et finissent par dépasser la limite de rupture. Un verre ordinaire, plus amorti, dissipe l'énergie au fur et à mesure et reste loin du seuil. L'acuité de la résonance et l'amplification sont les deux faces du même nombre $Q$.

Ce que l'exercice installe. La représentation complexe transforme une équation différentielle en une équation algébrique ; l'amplitude est un module, la phase un argument. Chercher un extremum d'amplitude, c'est étudier le radicande, en variable $u^2$. Et retenir : résonance d'amplitude si et seulement si $Q>1/\sqrt{2}$, en ${\omega }_r<{\omega }_0$, de hauteur $\simeq Q{X}_0$ et de largeur $\simeq {\omega }_0/Q$ quand $Q\gg 1$.