Oscillations transversales entre deux ressorts

La stratégie. On écrit la force exacte, puis on la développe au voisinage de l'équilibre : le terme linéaire donne la raideur effective et la pulsation. C'est la même démarche que l'approximation du puits harmonique, faite directement sur la force.

1) Le mouvement longitudinal. Si la masse est en $x$ sur l'axe $AB$ (origine $O$), le ressort de gauche a la longueur $\ell +x$ et tire vers $A$ avec la force $-k(\ell +x-{\ell }_0)$ ; celui de droite a la longueur $\ell -x$ et tire vers $B$ avec $+k(\ell -x-{\ell }_0)$. La somme vaut $-2kx$, exactement : $m\ddot{x}=-2kx$, oscillateur harmonique de pulsation ${\omega }_{\parallel }=\sqrt{2k/m}$. Les deux ressorts se comportent comme un seul, de raideur $2k$.

2) Le mouvement transversal. Si la masse est en $(0,y)$, chaque ressort a la longueur $L=\sqrt{{\ell }^2+y^2}$ et exerce une tension $k(L-{\ell }_0)$ dirigée de la masse vers son point d'attache. Les composantes selon $AB$ se compensent par symétrie ; les composantes transversales s'ajoutent, chacune valant $-k(L-{\ell }_0)\frac{y}{L}$. D'où $$F_y=-2ky\left(1-\frac{{\ell }_0}{\sqrt{{\ell }^2+y^2}}\right).$$ Elle n'est pas linéaire en $y$ : l'équation $m\ddot{y}=F_y$ ne décrit pas un oscillateur harmonique.

3) La linéarisation. Pour $|y|\ll \ell$, $\frac{{\ell }_0}{\sqrt{{\ell }^2+y^2}}=\frac{{\ell }_0}{\ell }(1+\frac{y^2}{{\ell }^2}{)}^{-1/2}=\frac{{\ell }_0}{\ell }+O(y^2)$, donc $F_y=-2k(1-\frac{{\ell }_0}{\ell })y+O(y^3)$, et $${\omega }_{\perp }=\sqrt{\frac{2k(\ell -{\ell }_0)}{m\ell }}=\sqrt{\frac{2T_0}{m\ell }},T_0=k(\ell -{\ell }_0).$$ Lecture physique. La raideur transversale ne vient pas de l'allongement des ressorts (qui n'est que du second ordre en $y$) mais de leur tension : chaque ressort tendu tire avec $T_0$, et une petite inclinaison $y/\ell$ en donne une composante transversale $T_{0}y/\ell$. Numériquement : ${\omega }_{\parallel }=\sqrt{1000}\approx 31,6\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $T_0=2,5\mathrm{N}$, ${\omega }_{\perp }=\sqrt{2\times 2,5/(0,10\times 0,25)}\approx 14,1\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $\frac{{\omega }_{\perp }}{{\omega }_{\parallel }}=\sqrt{1-\frac{{\ell }_0}{\ell }}\approx 0,447$. Toujours ${\omega }_{\perp }<{\omega }_{\parallel }$ : il est plus facile d'écarter la masse de côté que dans l'axe.

4) Le cas limite $\ell ={\ell }_0$. Les ressorts ne sont plus tendus à l'équilibre : $T_0=0$, et le terme linéaire disparaît. Il faut pousser le développement : $(1+\frac{y^2}{{\ell }_0^2}{)}^{-1/2}=1-\frac{y^2}{2{\ell }_0^2}+O(y^4)$, donc $$F_y=-2ky\cdot \frac{y^2}{2{\ell }_0^2}+O(y^5)=-\frac{k{y}^3}{{\ell }_0^2}+O(y^5).$$ La force de rappel est cubique : il n'y a plus d'approximation harmonique possible, si petite que soit l'amplitude. Analyse dimensionnelle. Le mouvement ne dépend que de $m$, du coefficient $\lambda =k/{\ell }_0^2$ (en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$) et de l'amplitude $Y$. Une durée formée avec ces trois grandeurs, $m^{\alpha }{\lambda }^{\beta }{Y}^{\gamma }$, impose $\alpha +\beta =0$ (kilogramme), $-2\beta =1$ (seconde) et $-2\beta +\gamma =0$ (mètre), d'où $T=C\sqrt{m/\lambda }/Y=C\frac{{\ell }_0}{Y}\sqrt{\frac{m}{k}}$. La période diverge quand l'amplitude tend vers zéro : plus d'isochronisme.

5) La corde de guitare. Une corde est tendue bien au-delà de sa longueur au repos : c'est le cas 3, celui où la raideur transversale vient de la tension. Par analogie avec ${\omega }_{\perp }=\sqrt{2T_0/(m\ell )}$, la fréquence croît comme la racine carrée de la tension : c'est en tournant les mécaniques, donc en réglant la tension, qu'on accorde la guitare. (La corde vibrante, modèle continu de cette situation, sera étudiée avec les ondes.)

Ce que l'exercice installe. Linéariser une force au voisinage d'un équilibre, c'est garder le premier terme non nul de son développement ; ce terme peut venir d'un effet inattendu (ici la tension, pas l'allongement). Quand il s'annule, l'oscillateur cesse d'être harmonique et l'analyse dimensionnelle donne la loi de la période.