Problème — Facteur de qualité et bande passante

1) La résonance en vitesse. En complexes, $\underline{x}=\frac{\underline{V}}{i\omega }$ et $\underline{\ddot{x}}=i\omega \underline{V}$ ; l'équation devient $(im\omega +h+\frac{k}{i\omega })\underline{V}=F_m$, et comme $\frac{1}{i}=-i$ : $$\underline{V}=\frac{F_m}{h+i(m\omega -\frac{k}{\omega })},|\underline{V}|=\frac{F_m}{\sqrt{h^2+(m\omega -\frac{k}{\omega }{)}^2}}.$$ Le dénominateur est minimal quand le terme au carré est nul, c'est-à-dire $m\omega =k/\omega$, soit $\omega ={\omega }_0$ exactement, et cela pour toute valeur de $h$ : il y a toujours une résonance en vitesse, et elle est toujours en ${\omega }_0$. Le maximum vaut $V_m=F_m/h$. Contraste avec l'exercice 8 : la résonance d'amplitude n'existe que pour $Q>1/\sqrt{2}$ et se produit en ${\omega }_r<{\omega }_0$ ; le facteur $1/\omega$ qui sépare $\underline{x}$ de $\underline{V}$ suffit à déplacer le maximum.

2) La puissance et la bande passante. La puissance reçue est $\mathcal{P}=F\dot{x}$. En régime forcé, l'énergie mécanique est périodique, donc sa variation moyenne est nulle : la puissance moyenne reçue égale la puissance moyenne dissipée, $⟨h{\dot{x}}^2⟩=\frac{1}{2}h|\underline{V}{|}^2$, puisque la valeur moyenne de ${\cos }^2$ vaut $\frac{1}{2}$. D'où $⟨\mathcal{P}⟩=\frac{1}{2}h|\underline{V}{|}^2$, maximale en ${\omega }_0$ et égale à $\frac{F_m^2}{2h}$. La condition de mi-puissance, $|\underline{V}{|}^2=\frac{1}{2}{V}_m^2$, s'écrit $$h^2+(m\omega -\frac{k}{\omega }{)}^2=2h^2⟺m\omega -\frac{k}{\omega }=\pm h⟺m{\omega }^2\mp h\omega -k=0.$$ Chacune de ces deux équations du second degré a une racine positive et une négative ; les racines positives sont $${\omega }_2=\frac{h+\sqrt{h^2+4km}}{2m},{\omega }_1=\frac{-h+\sqrt{h^2+4km}}{2m}.$$ Leur différence et leur produit valent, exactement, $${\omega }_2-{\omega }_1=\frac{h}{m}=\frac{{\omega }_0}{Q},{\omega }_1{\omega }_2=\frac{(h^2+4km)-h^2}{4m^2}=\frac{k}{m}={\omega }_0^2.$$ La largeur de la bande passante à mi-puissance est ${\omega }_0/Q$, sans aucune hypothèse sur $Q$ ; et ${\omega }_0$ est la moyenne géométrique des pulsations de coupure (la courbe est symétrique en échelle logarithmique).

3) Les phases. $\arg \underline{V}=-\arctan \frac{m\omega -k/\omega }{h}$. En ${\omega }_1$, $m\omega -k/\omega =-h$ : $\arg \underline{V}=+\frac{\pi }{4}$. En ${\omega }_0$ : $\arg \underline{V}=0$, la vitesse est en phase avec la force — c'est pour cela que la puissance y est maximale. En ${\omega }_2$ : $-\frac{\pi }{4}$. Le déplacement, $\underline{x}=\underline{V}/(i\omega )$, a pour argument $\arg \underline{V}-\frac{\pi }{2}$, soit exactement $-\frac{\pi }{2}$ en ${\omega }_0$, quel que soit $Q$. Méthode de mesure. Le maximum d'une courbe d'amplitude est plat, donc mal localisé ; le passage de la phase par $-\pi /2$ est au contraire une traversée franche, d'autant plus raide que $Q$ est grand : on le repère avec précision (à l'oscilloscope, en mode XY, l'ellipse se redresse).

4) $Q$ comme rapport d'énergies. À $\omega ={\omega }_0$, la vitesse est en phase avec la force : $\dot{x}=V_m\cos {\omega }_{0}t$, et $x=\frac{V_m}{{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t$. Alors $$E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{V}_m^2{\cos }^2{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\frac{k}{{\omega }_0^2}{V}_m^2{\sin }^2{\omega }_{0}t=\frac{1}{2}m{V}_m^2,$$ puisque $k/{\omega }_0^2=m$ : l'énergie mécanique est constante — à la résonance, l'excitation compense à chaque instant la dissipation, et l'énergie passe intégralement de la forme cinétique à la forme potentielle, comme dans un oscillateur libre non amorti. L'énergie dissipée en une période $T=2\pi /{\omega }_0$ vaut $$E_{\text{diss}}={\int }_0^{T}h{\dot{x}}^2\mathrm{d}t=h{V}_m^2\frac{T}{2}=\frac{\pi h{V}_m^2}{{\omega }_0}.$$ D'où $$2\pi \frac{E}{E_{\text{diss}}}=2\pi \frac{\frac{1}{2}m{V}_m^2{\omega }_0}{\pi h{V}_m^2}=\frac{m{\omega }_0}{h}=Q.$$ Le facteur de qualité est $2\pi$ fois le rapport de l'énergie stockée à l'énergie dissipée par période. Un oscillateur de $Q=1000$ ne perd que $0,6\%$ de son énergie à chaque oscillation.

5) Le régime libre. Pour $Q\gg 1$, $x\simeq X{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$ avec $\tau =2Q/{\omega }_0$ ; l'énergie, proportionnelle au carré de l'amplitude, décroît comme ${\mathrm{e}}^{-2t/\tau }={\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t/Q}$. Sur une période $T_0$, elle perd la fraction $\frac{{\omega }_0{T}_0}{Q}=\frac{2\pi }{Q}$ : c'est exactement le rapport $E_{\text{diss}}/E$ du 4). Le même nombre gouverne la résonance et le régime libre. Le diapason : ${\omega }_0=2\pi \times 440\approx 2765\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\tau =\frac{2000}{2765}\approx 0,72\mathrm{s}$ ; l'amplitude est divisée par $1000$ (soit $-60\mathrm{dB}$) au bout de $\tau \ln 1000\approx 5,0\mathrm{s}$ : c'est bien l'ordre de grandeur de la durée pendant laquelle on entend un diapason frappé.

6) Le quartz. La bande passante à mi-puissance vaut $\Delta f=32768,33-32767,67=0,66\mathrm{Hz}$, d'où $$Q=\frac{f_0}{\Delta f}\approx \frac{32768}{0,66}\approx 5\times 10^4.$$ On vérifie au passage que $\sqrt{f_1{f}_2}\approx 32768\mathrm{Hz}$, conformément au 2). Pourquoi une bonne horloge. La résonance est si étroite que l'oscillateur entretenu ne peut osciller qu'à une fréquence extrêmement bien définie : une perturbation qui déplacerait la fréquence de plus d'une fraction de $\Delta f$ ferait chuter l'amplitude, et le circuit d'entretien la ramène. De plus, ne perdant que $2\pi /Q\approx 10^{-4}$ de son énergie par période, le quartz se contente d'une puissance minuscule : une pile de montre dure des années. (Le nombre $32768=2^{15}$ est choisi pour qu'une division par deux répétée quinze fois donne exactement une impulsion par seconde.) Dans l'analogie électromécanique, $m\leftrightarrow L$, $h\leftrightarrow R$, $k\leftrightarrow 1/C$, et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ : tout ce qui précède vaut, mot pour mot, pour le circuit RLC série.

Le résultat établi — facteur de qualité et bande passante. Pour un oscillateur forcé, la résonance en vitesse a lieu exactement en ${\omega }_0$, et la bande passante à mi-puissance vaut exactement $\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=\frac{{\omega }_0}{Q}$, avec ${\omega }_1{\omega }_2={\omega }_0^2$ ; le facteur de qualité est aussi $Q=2\pi \frac{E_{\text{stockeˊe}}}{E_{\text{dissipeˊe par peˊriode}}}$, et il fixe la durée du régime libre, $\tau =2Q/{\omega }_0$. Une résonance fine, une faible dissipation et une longue persistance des oscillations sont trois aspects d'un seul nombre.

Ce que le problème installe. Calculer en complexes une grandeur bien choisie (ici la vitesse, et non le déplacement) pour obtenir des résultats exacts ; relier puissance moyenne et module au carré ; lire ${\omega }_0$ et $Q$ sur des courbes d'amplitude ou de phase ; et passer du langage des fréquences à celui des énergies. On retrouvera ces mêmes outils pour le circuit RLC et les filtres.