Réponse à un échelon : pourquoi $Q\approx 0,7$ ?

1) L'équation. La loi de la quantité de mouvement, l'origine étant prise à l'équilibre initial (le poids est compensé par la précontrainte du ressort), donne $m\ddot{x}=-kx-h\dot{x}+F_0$, soit $$\ddot{x}+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x={\omega }_0^2{x}_{\infty },x(0)=0,\dot{x}(0)=0.$$ Les conditions initiales traduisent la continuité de la position et de la vitesse : une force finie ne peut pas faire sauter la vitesse. ${\omega }_0=\sqrt{3,0\times 10^4/300}=10\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f_0\approx 1,6\mathrm{Hz}$.

2) Le pseudo-périodique. La solution est la somme d'une solution particulière constante, $x_{\infty }$, et de la solution générale de l'équation homogène : $x=x_{\infty }+{\mathrm{e}}^{-t/\tau }(A\cos \Omega t+B\sin \Omega t)$. La condition $x(0)=0$ donne $A=-x_{\infty }$ ; la condition $\dot{x}(0)=-\frac{A}{\tau }+B\Omega =0$ donne $B=-\frac{x_{\infty }}{\Omega \tau }$. D'où l'expression annoncée. En dérivant, et en utilisant ${\Omega }^2+\frac{1}{{\tau }^2}={\omega }_0^2$ : $$\dot{x}(t)=x_{\infty }\frac{{\omega }_0^2}{\Omega }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\sin \Omega t.$$ La vitesse s'annule pour $\Omega t=n\pi$ ; le premier extremum après $t=0$ est en $t=\pi /\Omega$, où $\cos =-1$ et $\sin =0$ : $x=x_{\infty }(1+{\mathrm{e}}^{-\pi /(\Omega \tau )})$. Comme $\Omega \tau =\frac{2Q}{{\omega }_0}{\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=\sqrt{4Q^2-1}$, $$\boxed{D=\exp (-\frac{\pi }{\sqrt{4Q^2-1}})}.$$ Cas limites : $D\to 0$ quand $Q\to {\frac{1}{2}}^{+}$ (pas de dépassement au critique), $D\to 1$ quand $Q\to \infty$ (oscillation non amortie autour de $x_{\infty }$, entre $0$ et $2x_{\infty }$).

3) Le critique. Racine double $-{\omega }_0$ : $x=x_{\infty }+(A+Bt){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}$, avec $A=-x_{\infty }$ et $B-{\omega }_{0}A=0$, soit $B=-{\omega }_0{x}_{\infty }$. D'où $x=x_{\infty }[1-(1+{\omega }_{0}t){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}]$. Sa dérivée $x_{\infty }{\omega }_0^{2}t{\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}$ est positive : $x$ croît vers $x_{\infty }$ sans jamais le dépasser. Il entre dans la bande des $5\%$ quand $(1+u){\mathrm{e}}^{-u}=0,05$ avec $u={\omega }_{0}t$ ; cette fonction est décroissante, et la résolution numérique (par dichotomie) donne $u\approx 4,74$.

4) Le réglage à $5\%$. $D=0,05$ équivaut à $\frac{\pi }{\sqrt{4Q^2-1}}=\ln 20$, soit $Q_5=\frac{1}{2}\sqrt{1+(\frac{\pi }{\ln 20}{)}^2}\approx 0,72$. Pour ce réglage, la réponse monte plus vite (le facteur d'amortissement est plus faible), dépasse $x_{\infty }$ d'exactement $5\%$ au premier maximum, puis ne quitte plus la bande : $t_{5\%}$ est l'instant où elle y entre, ${\omega }_0{t}_{5\%}\approx 2,86$, contre $4,74$ au critique. Le réglage $Q\approx 0,7$ est donc environ $40\%$ plus rapide que le critique, au prix d'un petit dépassement. Pour $Q$ un peu supérieur à $Q_5$, le premier dépassement sort de la bande, et $t_{5\%}$ devient l'instant où la réponse y revient après ce maximum : il saute à ${\omega }_0{t}_{5\%}\approx 4,6$ ou plus. Quelques valeurs numériques : ${\omega }_0{t}_{5\%}\approx 3,58$ pour $Q=0,6$, $2,96$ pour $Q=0,70$, $4,90$ pour $Q=0,75$, $5,29$ pour $Q=1$, $10,8$ pour $Q=2$.

Le point délicat — et la correction d'une phrase répandue. Le régime critique est le retour le plus rapide sans dépassement ; il n'est pas le plus rapide à $5\%$ près. L'exercice précédent le montrait aussi : le critique minimise la constante de temps de l'enveloppe, pas le temps d'entrée dans une bande de tolérance.

5) La voiture et le VTT. Au critique : $h_c=2\sqrt{km}=2\sqrt{3,0\times 10^4\times 300}=6,0\times 10^3\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $t_{5\%}\approx 0,47\mathrm{s}$. Pour $Q_5$ : $h=\frac{m{\omega }_0}{Q_5}\approx 4,1\times 10^3\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $t_{5\%}\approx 0,29\mathrm{s}$. Les constructeurs règlent en effet les amortisseurs autour de $Q\approx 0,5$ à $0,7$ : un seul petit rebond, un retour rapide, un compromis entre confort et tenue de route. Pour le VTT : $h_c=2\sqrt{2,0\times 10^4\times 80}\approx 2,5\times 10^3\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$ (avec ${\omega }_0\approx 16\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$). En descente, un rebond fait décoller la roue et perdre l'adhérence : on se règle au voisinage du critique, sans dépassement.

Ce que l'exercice installe. Résoudre une équation du second ordre à second membre constant : solution particulière, solution homogène, deux conditions initiales justifiées par la continuité. Quantifier un régime transitoire par deux nombres, le dépassement et le temps de réponse à $5\%$. Et savoir que « le plus rapide » dépend du critère : sans dépassement, c'est le critique ; à $5\%$ près, c'est $Q\approx 0,7$.