L'analyseur à miroir électrostatique : focalisation à 45°

La stratégie. Poser le champ et la force avec soin (le signe est le seul piège), reconnaître le problème du projectile, puis lire la formule de portée comme une fonction de l'angle et l'étudier au voisinage de son maximum.

1) La parabole et la portée. On prend ${\overrightarrow{u}}_x$ le long des plaques et ${\overrightarrow{u}}_y$ vers le haut, l'origine à la fente d'entrée. Le potentiel varie linéairement de $0$ en $y=0$ à $-U$ en $y=d$ : $V(y)=-U\frac{y}{d}$, et le champ $\overrightarrow{E}=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}y}{\overrightarrow{u}}_y=\frac{U}{d}{\overrightarrow{u}}_y$ est dirigé vers le haut. L'électron subit $-e\overrightarrow{E}=-\frac{eU}{d}{\overrightarrow{u}}_y$ : il est repoussé vers le bas par la plaque négative, avec une accélération constante de norme $a=\frac{eU}{md}$. C'est un « miroir » électrostatique.

Avec $v_0$ la vitesse d'entrée, $x=v_0\cos \alpha t$ et $y=v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}a{t}^2$ : la trajectoire est une parabole, comme celle d'un projectile dans un champ de pesanteur $a$. L'électron revient en $y=0$ à l'instant $t_s=\frac{2v_0\sin \alpha }{a}$, à l'abscisse $$L=v_0\cos \alpha \cdot \frac{2v_0\sin \alpha }{a}=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{a}=\frac{2E_c}{m}\cdot \frac{md}{eU}\sin 2\alpha =2d\frac{E_c}{eU}\sin 2\alpha .$$ C'est exactement la formule de la portée d'un projectile, $\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}$, où $g$ est remplacé par $eU/(md)$. Le rapport $E_c/(eU)$ compare l'énergie de l'électron à la barrière de potentiel.

2) La profondeur. Au sommet, $\dot{y}=0$ ; la hauteur atteinte est celle d'un projectile : $$h=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2a}=d\frac{E_c}{eU}{\sin }^2\alpha .$$ L'électron ne touche pas la plaque supérieure si $h<d$, c'est-à-dire $E_c{\sin }^2\alpha <eU$ : seule la part « verticale » de l'énergie cinétique, $E_c{\sin }^2\alpha$, doit être inférieure à la barrière.

Application : $\frac{E_c}{eU}=\frac{100}{200}=0,5$, d'où $L=2\times 2,0\times 0,5\times 1=2,0\mathrm{cm}$ et $h=2,0\times 0,5\times 0,5=0,50\mathrm{cm}<d$. Vérification par l'énergie : au sommet, l'électron a conservé l'énergie cinétique horizontale $E_c{\cos }^2\alpha =50\mathrm{eV}$, et il a gagné l'énergie potentielle $eUh/d=200\times 0,25=50\mathrm{eV}$ ; le total vaut bien $100\mathrm{eV}$.

3) La focalisation au second ordre. Avec $\alpha =\frac{\pi }{4}+\delta$, $\sin 2\alpha =\sin (\frac{\pi }{2}+2\delta )=\cos 2\delta$. Le développement $\cos 2\delta =1-2{\delta }^2+o({\delta }^2)$ donne $$L(\delta )=L_0\cos 2\delta \approx L_0(1-2{\delta }^2),\Delta L=L_0-L(\delta )\approx 2{\delta }^2{L}_0.$$ Il n'y a pas de terme du premier ordre : la fonction $\alpha \mapsto \sin 2\alpha$ est maximale en $45°$, sa dérivée y est nulle. Pour $\delta =2°=3,49\times 10^{-2}\mathrm{rad}$, $2{\delta }^2=2,4\times 10^{-3}$ et $\Delta L\approx 4,9\times 10^{-2}\mathrm{mm}$ : les électrons entrés à $43°$ et à $47°$ ressortent tous deux à $1,995\mathrm{cm}$, à cinq centièmes de millimètre de ceux entrés à $45°$.

Avec un réglage à $\alpha =30°$, la dérivée $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\alpha }=4d\frac{E_c}{eU}\cos 2\alpha$ n'est pas nulle, et l'étalement est du premier ordre : $\Delta L\approx 4d\frac{E_c}{eU}\cos 60°\delta \approx 0,70\mathrm{mm}$, quatorze fois plus. Des électrons issus d'un même point dans des directions légèrement différentes convergent en un même point de sortie : le dispositif se comporte comme une lentille, d'où le mot de focalisation.

4) L'analyseur en énergie. À angle fixé, $L$ est proportionnelle à $E_c$ : $\frac{\Delta L}{L}=\frac{\Delta E_c}{E_c}$. Une fente de sortie placée à la distance $L$ ne laisse passer que les électrons d'une énergie donnée : c'est un spectromètre en énergie. Deux énergies ne sont distinguées que si l'écart de position qu'elles provoquent dépasse l'étalement dû à la divergence, $2{\delta }^{2}L$ : la résolution relative vaut $$\frac{\Delta E_c}{E_c}{|}_{\min }\approx 2{\delta }^2\approx 2,4\times 10^{-3},$$ soit $0,24\mathrm{eV}$ à $100\mathrm{eV}$. Avec le réglage à $30°$, où l'étalement est du premier ordre, elle ne serait que de $\Delta L/L\approx 0,70/17,3\approx 4\times 10^{-2}$, seize fois moins bonne.

Ce que l'exercice installe. Une formule est une fonction : on l'étudie au voisinage de son extremum, où une erreur du premier ordre sur l'entrée ne produit qu'une erreur du second ordre sur la sortie. C'est le principe de tous les réglages « au maximum » en physique expérimentale, et il se démontre par un développement limité d'une ligne.