L'oscilloscope : centre de déviation et indépendance vis-à-vis de $q/m$

La stratégie. Trois phases : une accélération sous une différence de potentiel (théorème de l'énergie cinétique), un mouvement à accélération constante entre les plaques (le problème du projectile), un mouvement rectiligne uniforme jusqu'à l'écran. On travaillera littéralement jusqu'au bout, et c'est l'expression littérale qui révélera les deux résultats importants.

1) Poids, sens, vitesse. Le champ entre les plaques vaut $E=U/d=1,0\times 10^4\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ : c'est la situation de l'exercice 1, où la force électrique dépasse le poids d'un facteur $1,8\times 10^{14}$. Le champ va de la plaque positive vers la plaque négative ; l'électron, de charge négative, subit $-e\overrightarrow{E}$, de sens opposé : il est dévié vers la plaque positive. On oriente ${\overrightarrow{u}}_y$ vers cette plaque. La force électrique ne dépend que de la position, elle dérive de l'énergie potentielle $qV$ ; le théorème de l'énergie cinétique entre la cathode et l'entrée des plaques donne $\frac{1}{2}{m}_e{v}_0^2=e{U}_0$, d'où $$v_0=\sqrt{\frac{2e{U}_0}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\times 1,60\times 10^{-19}\times 2000}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 2,65\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ soit $0,09c$ : le traitement newtonien est légitime, à moins d'un pour cent près sur l'énergie.

2) La parabole. Entre les plaques, $m_e\overrightarrow{a}=\frac{eU}{d}{\overrightarrow{u}}_y$. Avec $x(0)=y(0)=0$, $\dot{x}(0)=v_0$, $\dot{y}(0)=0$, on intègre deux fois : $$x(t)=v_{0}t,y(t)=\frac{eU}{2m_{e}d}{t}^2.$$ On élimine le temps, $t=x/v_0$, puis on remplace $v_0^2$ par $\frac{2e{U}_0}{m_e}$ : $$y(x)=\frac{eU}{2m_{e}d{v}_0^2}{x}^2=\frac{eU}{2m_{e}d}\cdot \frac{m_e}{2e{U}_0}{x}^2=\frac{U}{4U_{0}d}{x}^2.$$ La charge et la masse ont disparu. Une particule plus lourde reste plus longtemps entre les plaques, mais y est moins accélérée ; une particule plus chargée y est plus accélérée, mais elle est entrée plus vite. Les deux effets se compensent exactement.

3) Le centre de déviation. À la sortie, $x=\ell$ : l'ordonnée vaut $y_s=\frac{U{\ell }^2}{4U_{0}d}$ et la pente de la tangente vaut $\tan \alpha =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=\ell }=\frac{U\ell }{2U_{0}d}$. Après les plaques, plus aucune force ne s'exerce (le poids est négligé) : le mouvement est rectiligne uniforme, le long de cette tangente. Elle coupe l'axe $y=0$ à l'abscisse $x_c$ telle que $y_s=\tan \alpha (\ell -x_c)$ : $$\ell -x_c=\frac{y_s}{\tan \alpha }=\frac{U{\ell }^2}{4U_{0}d}\cdot \frac{2U_{0}d}{U\ell }=\frac{\ell }{2},x_c=\frac{\ell }{2}.$$ Tout se passe comme si l'électron avait été dévié d'un coup, au milieu des plaques.

4) La déviation sur l'écran. L'écran est à la distance $\frac{\ell }{2}+D$ du centre de déviation, d'où $$Y=\tan \alpha (\frac{\ell }{2}+D)=\frac{U\ell }{2U_{0}d}(\frac{\ell }{2}+D)=\frac{200\times 0,040}{2\times 2000\times 0,020}\times (0,020+0,20)=2,2\mathrm{cm}.$$ La déviation est proportionnelle à $U$ : c'est ce qui fait de l'appareil un voltmètre qui dessine. La sensibilité vaut $Y/U=0,11\mathrm{mm}{\mathrm{V}}^{-1}$.

5) La tension limite. L'électron, entré à mi-distance, heurte la plaque si son ordonnée de sortie dépasse $d/2$. Il faut donc $$\frac{U{\ell }^2}{4U_{0}d}<\frac{d}{2}⟺U<\frac{2d^2{U}_0}{{\ell }^2}=\frac{2\times (0,020{)}^2\times 2000}{(0,040{)}^2}=1000\mathrm{V}.$$ À cette limite, $\tan \alpha =d/\ell =0,5$ et $Y=0,5\times 0,22=11\mathrm{cm}$. La déviation électrique est limitée par la géométrie : l'angle ne peut pas dépasser $\arctan (d/\ell )$, ici $27°$. C'est pourquoi les téléviseurs, qui devaient balayer de grands angles, utilisaient une déviation magnétique.

6) Pas de tri. L'équation $y=\frac{U}{4U_{0}d}{x}^2$ ne contient que des grandeurs de l'appareil. Toute particule accélérée sous la même tension $U_0$ (positive pour un ion positif, avec des polarités inversées) suit la même trajectoire, au sens de déviation près, et frappe l'écran au même point. Une déviation électrique, après une accélération électrique, ne trie pas les particules : ni par la masse, ni par la charge. Il faudra un champ magnétique pour cela.

Ce que l'exercice installe. Mener le calcul littéral jusqu'au bout avant toute application numérique : c'est l'expression finale qui montre que $q$ et $m$ se simplifient, ce qu'aucun calcul numérique n'aurait fait voir. Et la lecture géométrique d'une trajectoire, ici le centre de déviation au milieu des plaques, qui remplace un calcul de droite par une image.