Problème : le cyclotron de Lawrence

1) Un demi-tour dans un dee. À l'intérieur d'un dee, le champ électrique est nul : le proton n'est soumis qu'à la force magnétique, qui ne travaille pas. Sa vitesse garde une norme constante $v$, perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$, et il décrit un cercle de rayon $r=\frac{m_{p}v}{eB}$ (cours, exercice 5). Il entre dans le dee en traversant le diamètre, et en ressort après un demi-cercle, en un temps égal à la longueur parcourue divisée par la vitesse : $$\tau =\frac{\pi r}{v}=\frac{\pi }{v}\cdot \frac{m_{p}v}{eB}=\frac{\pi m_p}{eB}.$$ La vitesse s'est simplifiée : un proton rapide parcourt un demi-cercle plus grand, exactement dans la proportion de sa vitesse. Tous les protons passent le même temps dans un dee.

2) Le synchronisme. Pour que le proton soit accéléré à chaque passage, il faut que le champ dans l'intervalle se soit inversé entre deux passages successifs, puisqu'il traverse l'intervalle alternativement dans un sens et dans l'autre. Il faut donc que la tension change de signe toutes les durées $\tau$ : sa période doit être $2\tau$, et sa fréquence $$f=\frac{1}{2\tau }=\frac{eB}{2\pi m_p}=\frac{{\omega }_c}{2\pi },$$ la fréquence cyclotron. Numériquement, ${\omega }_c=\frac{1,60\times 10^{-19}\times 2,0}{1,67\times 10^{-27}}\approx 1,92\times 10^8\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f\approx 30,5\mathrm{MHz}$, $T=1/f\approx 32,8\mathrm{ns}$. Parce que $\tau$ ne dépend pas de $v$, une seule fréquence fixe convient pour toutes les orbites : c'est l'idée de Lawrence, et c'est ce qui fait qu'une tension de radiofréquence ordinaire suffit.

3) Les rayons successifs. À chaque traversée, le champ électrique de l'intervalle fournit le travail $eU$ ; le théorème de l'énergie cinétique, à partir du repos, donne après $n$ traversées $E_n=neU$. Alors $v_n=\sqrt{\frac{2neU}{m_p}}$ et $$r_n=\frac{m_p{v}_n}{eB}=\frac{\sqrt{2m_{p}neU}}{eB}=r_1\sqrt{n},r_1=\frac{\sqrt{2m_{p}eU}}{eB}\approx 1,6\mathrm{cm},r_{100}\approx 16\mathrm{cm}.$$ L'écart entre deux demi-cercles successifs vaut $r_{n+1}-r_n=r_1(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{r_1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\approx \frac{r_n}{2n}$ : il décroît, les orbites se resserrent à mesure que l'énergie augmente. vers le bord, après $n\approx 960$ traversées, deux demi-cercles successifs ne sont plus séparés que de $r_1/(2\sqrt{n})\approx 0,26\mathrm{mm}$, ce qui rend l'extraction délicate.

4) L'énergie d'extraction. Le proton sort lorsque le rayon de son orbite atteint $R$, avec la vitesse $v=\frac{eBR}{m_p}$, donc l'énergie cinétique $$E_{\max }=\frac{1}{2}{m}_p{v}^2=\frac{e^2{B}^2{R}^2}{2m_p}=\frac{(1,60\times 10^{-19}\times 2,0\times 0,50{)}^2}{2\times 1,67\times 10^{-27}}\approx 7,7\times 10^{-12}\mathrm{J}\approx 48\mathrm{MeV}.$$ Elle ne dépend pas de $U$ : seuls le champ et la taille de l'aimant la fixent. La tension $U$ fixe seulement le gain par traversée, $eU$, donc le nombre de tours : le proton gagne $2eU=0,10\mathrm{MeV}$ par tour, et il lui faut $$N=\frac{E_{\max }}{2eU}\approx 4,8\times 10^2\text{tours},$$ qui durent $NT\approx 479\times 32,8\mathrm{ns}\approx 16\mu \mathrm{s}$. Une tension de $50\mathrm{kV}$ conduit à $48\mathrm{MeV}$ parce que la même particule repasse près de mille fois dans le même champ accélérateur. Vérification d'homogénéité : $eBR$ est une quantité de mouvement (puisque $R=p/(eB)$), et $\frac{(eBR{)}^2}{2m_p}=\frac{p^2}{2m_p}$ est bien une énergie.

5) Les limites du modèle. $v=\frac{eBR}{m_p}\approx 9,6\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $v/c\approx 0,32$. À cette vitesse, la mécanique newtonienne commence à être en défaut : l'énergie du proton représente $5\%$ de son énergie de masse ($48\mathrm{MeV}$ contre $938\mathrm{MeV}$), et la relativité prévoit que la période de révolution augmente dans cette proportion. Le proton arrive de plus en plus tard dans l'intervalle et le synchronisme se perd : c'est ce qui limite un cyclotron classique à quelques dizaines de mégaélectronvolts pour des protons.

6) Les électrons. Avec la masse de l'électron, le même calcul donnerait $v=\frac{eBR}{m_e}=\frac{1,60\times 10^{-19}\times 2,0\times 0,50}{9,11\times 10^{-31}}\approx 1,8\times 10^{11}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit six cents fois la vitesse de la lumière : le résultat est absurde, et le modèle newtonien s'effondre. Un électron devient relativiste dès quelques centaines de kiloélectronvolts, c'est-à-dire après quelques traversées seulement ; sa période change aussitôt, et le synchronisme est perdu presque immédiatement. Le cyclotron est réservé aux particules lourdes.

Le résultat établi — le principe du cyclotron (Lawrence, 1931). Dans un champ magnétique uniforme, la durée d'un demi-tour, $\pi m/(|q|B)$, ne dépend pas de la vitesse ; une tension alternative de fréquence fixe égale à la fréquence cyclotron $f=\frac{|q|B}{2\pi m}$ accélère donc la particule à chaque passage, et elle sort au rayon $R$ avec l'énergie $E_{\max }=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}$, indépendante de la tension accélératrice.

Ce que le problème installe. Une propriété en apparence anodine — la pulsation cyclotron ne dépend pas de la vitesse — devient le principe d'une machine, à condition de la lire comme une invariance et de chercher ce qu'elle permet. Le problème montre aussi comment un modèle signale lui-même sa limite : quand une formule newtonienne donne $v>c$, ce n'est pas une erreur de calcul, c'est le domaine de validité du modèle qui est franchi.