La comète de Halley, des constantes du mouvement au demi-grand axe

La stratégie. Le programme demande l'énergie d'une ellipse en fonction du demi-grand axe sans géométrie, par les constantes du mouvement. Aux deux apsides, $\dot{r}=0$ : l'énergie n'y dépend que de $r$, d'où une équation dont $r_p$ et $r_a$ sont les racines ; les relations entre coefficients et racines font le reste.

1) L'énergie potentielle effective. Avec $r^2\dot{\theta }=C$, ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)$ et $${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)=\frac{m{C}^2}{2r^2}-\frac{k}{r}.$$ Pour $C\ne 0$ : elle tend vers $+\infty$ quand $r\to 0$ (la barrière centrifuge l'emporte), vers $0$ par valeurs négatives quand $r\to +\infty$ (le terme en $-k/r$ l'emporte). Sa dérivée $-\frac{m{C}^2}{r^3}+\frac{k}{r^2}$ s'annule en $r_c=\frac{m{C}^2}{k}$ : c'est un minimum, de valeur $-\frac{k^2}{2m{C}^2}<0$, et c'est l'orbite circulaire. Le mouvement est possible là où ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)\le {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$. Si ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}\ge 0$, cette région s'étend jusqu'à l'infini (la fonction reste négative pour $r$ grand) : diffusion. Si ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}<0$ (et au-dessus du minimum), elle est un intervalle borné $[r_p,r_a]$ : état lié.

2) L'énergie en fonction du demi-grand axe. Aux deux apsides, $\dot{r}=0$, donc ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)$ ; en multipliant par $r^2$ : $${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}{r}^2+kr-\frac{m{C}^2}{2}=0.$$ C'est une équation du second degré en $r$ dont $r_p$ et $r_a$ sont les deux racines (elles sont positives, de produit $-m{C}^2/(2{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}})>0$ et de somme positive, puisque ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}<0$). La somme des racines vaut l'opposé du coefficient de $r$ divisé par celui de $r^2$ : $$r_p+r_a=-\frac{k}{{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}}.$$ Le cours affirme que la trajectoire liée est une ellipse ; son grand axe joint les deux apsides et a pour longueur $2a=r_p+r_a$. D'où $${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=-\frac{k}{2a}=-\frac{\mathcal{G}m{M}_S}{2a}.$$ L'énergie ne dépend que du demi-grand axe, pas de la forme de l'orbite. Cas limite : pour le cercle, $r_p=r_a=r$, $a=r$ et l'on retrouve ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=-k/(2r)$.

3) La relation entre vitesse et distance. En un point quelconque, ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{\mathcal{G}m{M}_S}{r}$. En égalant à $-\frac{\mathcal{G}m{M}_S}{2a}$ et en divisant par $m/2$ : $$v^2=\mathcal{G}{M}_S\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).$$ Homogénéité : $\mathcal{G}{M}_S/r$ est le carré d'une vitesse, comme $\mathcal{G}{M}_S/a$.

4) L'orbite de Halley. $T=75,3\times 365,25\times 86400=2,376\times 10^9\mathrm{s}$. La troisième loi de Kepler donne $$a={\left(\frac{\mathcal{G}{M}_S{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}=2,667\times 10^{12}\mathrm{m}=17,8\text{ua}.$$ Contrôle : la même formule avec $T=1$ an donne $a=1,000$ ua, la Terre. Puis $r_a=2a-r_p=35,1$ ua — au-delà de l'orbite de Neptune (30 ua) — et $$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=0,967.$$ L'orbite est extrêmement allongée : le Soleil est presque au bout de l'ellipse.

5) Les vitesses aux apsides. Au périhélie, $r_p=8,77\times 10^{10}\mathrm{m}$ : $$v_p=\sqrt{\mathcal{G}{M}_S\left(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a}\right)}=54,6\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Aux deux apsides la vitesse est orthoradiale, donc $C=r_p{v}_p=r_a{v}_a$ : $$v_a=v_p\frac{r_p}{r_a}=0,912\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et la question 3) appliquée en $r_a$ donne la même valeur, $0,912\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ : les deux constantes du mouvement sont cohérentes. Le rapport $v_p/v_a=r_a/r_p\approx 60$ : la comète file près du Soleil et se traîne des décennies aux confins du système solaire.

Ce que l'exercice installe. Le geste exigé par le programme : écrire les deux constantes du mouvement aux apsides, là où $\dot{r}=0$ et où la vitesse est orthoradiale, et exploiter les relations entre coefficients et racines. On obtient ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=-k/(2a)$ sans géométrie, puis la relation entre vitesse et distance, puis les vitesses aux apsides. Le problème final repose entièrement sur ce résultat.