La constellation GPS : pourquoi une trentaine de satellites ?

Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · niveau 2

Énoncé

Le GPS repose sur une trentaine de satellites en orbite circulaire à environ $20200 km$ d'altitude. Pour calculer sa position, un récepteur doit « voir » au moins quatre satellites au-dessus de l'horizon.

Calculer le rayon orbital $r$ , puis la vitesse $v$ .
En déduire la période $T$ . Vérifier qu'elle vaut environ $12 h$ .
Un satellite n'est visible qu'environ la moitié du temps. Pourquoi faut-il une trentaine de satellites pour qu'au moins quatre soient visibles partout, à tout instant ?

Corrigé

1. $r = R_{T} + h = 6, 4 \times 1 0^{6} m + 2, 02 \times 1 0^{7} m \approx 2, 66 \times 1 0^{7} m$ . Le PFD donne $v = \frac{G M _{T}}{r}$ ; avec $G M_{T} = 4, 0 \times 1 0^{14}$ (SI), $v = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{14}}{2 , 66 \times 1 0 ^{7}} \approx 3, 9 \times 1 0^{3} m / s$ ( $\approx 14000 km / h$ ).

2. $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 2 , 66 \times 1 0 ^{7}}{3 , 9 \times 1 0 ^{3}} \approx 4, 3 \times 1 0^{4} s = \frac{43000}{3600} h \approx 12 h$ : deux tours par jour.

3. Un satellite reste au-dessus de l'horizon $\sim 6 h$ : il se lève et se couche sans cesse, et n'est visible que d'une portion du globe. Pour garantir, depuis n'importe où et à tout instant, la visibilité d'au moins quatre satellites (les quatre inconnues : trois coordonnées + le décalage d'horloge du récepteur), il faut une trentaine de satellites répartis sur six plans orbitaux.

Important

Ce que ça nous apprend. La période d'une orbite ne dépend que de son rayon : fixer $T = 12 h$ impose l'altitude GPS. Comme chaque satellite n'est visible qu'une fraction du temps, il faut toute une constellation pour couvrir la Terre en continu.