La masse sur une table percée, reliée à une masse pendante

La stratégie. C'est la démarche du cours, appliquée à un système réel : constante des aires, énergie, élimination de $\dot{\theta }$, puis lecture de l'énergie potentielle effective. La seule nouveauté est que l'inertie du mouvement radial n'est pas $m_1$ mais $m_1+m_2$ : la masse pendante bouge quand $r$ change.

1) Une force centrale. Le palet subit son poids et la réaction de la table, verticaux et qui se compensent (il reste sur la table, et il n'y a pas de frottement), et la tension du fil. Le fil est tendu et passe par le trou : la tension est dirigée de $M$ vers $O$, ${\overrightarrow{T}}_1=-T{\overrightarrow{u}}_r$. La résultante horizontale est donc centrale de centre $O$, fixe. Son moment en $O$ est nul ; le moment du poids et celui de la réaction se compensent, puisque ces deux forces sont opposées et appliquées au même point. Par le théorème du moment cinétique en $O$, la composante verticale $L=m_1{r}^2\dot{\theta }$ du moment cinétique du palet est constante.

2) L'énergie et l'énergie potentielle effective. Pour le système {palet + masse pendante + fil}, la réaction de la table et l'action du bord du trou ne travaillent pas (pas de frottement), et les tensions d'un fil inextensible sans masse ont une puissance totale nulle : seuls les poids travaillent, le système est conservatif.

La masse pendante est à la profondeur $\ell -r$ sous la table : sa cote est $z=-(\ell -r)$ et sa vitesse a pour norme $|\dot{z}|=|\dot{r}|$. Le palet a pour énergie cinétique $\frac{1}{2}{m}_1({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)$. Ainsi $${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}{m}_1\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2\right)+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{r}}^2+m_{2}g(r-\ell ).$$ On élimine $\dot{\theta }$ par la constante : $r^2{\dot{\theta }}^2=\frac{L^2}{m_1^2{r}^2}$, d'où $${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\dot{r}}^2+\underset{{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)}{\underbrace{\frac{L^2}{2m_1{r}^2}+m_{2}gr}}-m_{2}g\ell .$$

Allure. Pour $L\ne 0$, ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}$ tend vers $+\infty$ quand $r\to 0$ (barrière centrifuge, en $1/r^2$) et quand $r\to +\infty$ (terme de pesanteur, linéaire). Somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine, elle est convexe, avec un unique minimum : c'est un puits sans bord, sans aucun état de diffusion, contrairement au cas newtonien. Le mouvement radial est toujours borné, entre les racines de ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)={\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ — tant que le modèle s'applique ($r_{\max }<\ell$, fil tendu).

3) L'orbite circulaire. Elle correspond au minimum de ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}$ : $$\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r}=-\frac{L^2}{m_1{r}^3}+m_{2}g=0⟺r_0^3=\frac{L^2}{m_1{m}_{2}g}.$$ Elle est stable puisque c'est un minimum : $\frac{{\mathrm{d}}^2{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}{r}^2}=\frac{3L^2}{m_1{r}^4}>0$.

L'argument direct. Si le palet tourne sur un cercle de rayon $r_0$ à vitesse angulaire ${\dot{\theta }}_0$ constante (la loi des aires l'impose quand $r$ est constant), la masse pendante est immobile : la tension vaut $m_{2}g$. Pour le palet, le principe fondamental projeté sur ${\overrightarrow{u}}_r$ donne $-m_1{r}_0{\dot{\theta }}_0^2=-T=-m_{2}g$, soit $m_1{r}_0{\dot{\theta }}_0^2=m_{2}g$. C'est la même relation : avec $L=m_1{r}_0^2{\dot{\theta }}_0$, elle s'écrit $\frac{L^2}{m_1{r}_0^3}=m_{2}g$.

4) Linéarisation. On dérive l'énergie mécanique par rapport au temps ; comme elle est constante, $$(m_1+m_2)\dot{r}\ddot{r}+\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r}\dot{r}=0,$$ et, en dehors des instants où $\dot{r}=0$, $(m_1+m_2)\ddot{r}=-\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r}$. On pose $r=r_0+\epsilon$ avec $\epsilon$ petit, et l'on développe la dérivée au premier ordre au voisinage du minimum : $\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r}\simeq \frac{{\mathrm{d}}^2{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}{r}^2}(r_0)\epsilon$. On obtient un oscillateur harmonique, $\ddot{\epsilon }+{\omega }_r^2\epsilon =0$, avec $${\omega }_r^2=\frac{1}{m_1+m_2}\cdot \frac{3L^2}{m_1{r}_0^4}=\frac{3}{m_1+m_2}\cdot \frac{m_{2}g}{r_0},$$ en utilisant $L^2/(m_1{r}_0^3)=m_{2}g$. Et comme ${\dot{\theta }}_0^2=\frac{m_{2}g}{m_1{r}_0}$ d'après la question 3) : $$\frac{{\omega }_r^2}{{\dot{\theta }}_0^2}=\frac{3m_1}{m_1+m_2}.$$ Homogénéité : $m_{2}g/((m_1+m_2)r_0)$ est en ${\mathrm{s}}^{-2}$, comme un carré de pulsation. Cas limite : si $m_2\to 0$, ${\omega }_r\to 0$ — sans masse pendante, rien ne ramène le palet, qui part en ligne droite.

5) Fermée ou non ? Pendant une oscillation radiale complète, de durée $2\pi /{\omega }_r$, le palet tourne de l'angle $\Delta \theta ={\dot{\theta }}_0\cdot 2\pi /{\omega }_r=2\pi {\dot{\theta }}_0/{\omega }_r$. Pour $m_1=m_2$, ${\omega }_r/{\dot{\theta }}_0=\sqrt{3/2}\approx 1,225$, donc $\Delta \theta \approx 294^{\circ }$, et le rapport $\sqrt{3/2}$ est irrationnel : les péricentres successifs ne reviennent jamais au même endroit, la trajectoire n'est pas fermée, c'est une rosace qui remplit peu à peu une couronne.

Le palet repasse au même rayon minimal exactement une fois par tour si ${\omega }_r={\dot{\theta }}_0$, soit $3m_1=m_1+m_2$, c'est-à-dire $$\frac{m_2}{m_1}=2.$$ C'est la propriété du cas newtonien, pour lequel les petites perturbations d'une orbite circulaire ont toujours ${\omega }_r={\dot{\theta }}_0$ — c'est pourquoi une orbite képlérienne voisine du cercle est une ellipse fermée. Ici, cela n'arrive que pour un rapport de masses particulier ; en général, une force centrale ne donne pas d'orbites fermées.

Ce que l'exercice installe. Construire l'énergie potentielle effective d'un système réel en éliminant $\dot{\theta }$ par la constante des aires, lire sur elle l'existence et la stabilité d'une orbite circulaire, puis linéariser au voisinage du minimum pour obtenir une pulsation — la méthode du chapitre sur les oscillateurs, transposée au mouvement radial. Le rapport ${\omega }_r/{\dot{\theta }}_0$ décide de la fermeture des orbites ; on le retrouve à l'exercice suivant, où une loi de force légèrement différente de la loi newtonienne fait tourner l'orbite.