Le paradoxe du satellite freiné

La stratégie. Sur une orbite circulaire, les trois énergies sont liées par des relations fixes : connaître l'une, c'est connaître les trois. Toute la physique de l'exercice tient dans ces relations, et en particulier dans un signe : l'énergie cinétique est l'opposée de l'énergie mécanique.

1) Les relations sur le cercle. Le principe fondamental en projection radiale donne, comme au cours, $\frac{m{v}^2}{r}=\frac{\mathcal{G}m{M}_T}{r^2}$, soit ${\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{\mathcal{G}m{M}_T}{2r}$. Avec ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=-\frac{\mathcal{G}m{M}_T}{r}$ : $${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=-\frac{\mathcal{G}m{M}_T}{2r},{\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=-{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}},{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=2{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}.$$

2) Le paradoxe. Le théorème de l'énergie mécanique donne $\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{v}=-fv<0$ : l'énergie mécanique diminue. Or ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=-\mathcal{G}m{M}_T/(2r)$ est une fonction croissante de $r$ : si elle diminue, $r$ diminue. Et ${\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=-{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ augmente : le satellite va plus vite.

Il n'y a pas de contradiction, il y a deux forces. Sur une variation donnée, $\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=2\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ et $\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=-\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$, avec $\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=W(\overrightarrow{f})<0$. Le satellite descend : le poids travaille, positivement, de $W(\text{poids})=-\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=-2W(\overrightarrow{f})$. Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit $$\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=W(\text{poids})+W(\overrightarrow{f})=-2W(\overrightarrow{f})+W(\overrightarrow{f})=-W(\overrightarrow{f})>0.$$ La traînée retire une énergie $|W(\overrightarrow{f})|$ ; la descente en libère le double ; la moitié est dissipée, l'autre moitié accélère le satellite. La trajectoire s'incline légèrement vers le bas : l'attraction a alors une composante motrice.

3) Les ordres de grandeur. $r=R_T+h=6771\mathrm{km}$, $v=\sqrt{\mathcal{G}{M}_T/r}=7,67\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=-1,24\times 10^{13}\mathrm{J}$. Pour $\Delta r=-2,0\mathrm{km}$ : $$\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathcal{G}m{M}_T}{2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+\Delta r}\right)\approx \frac{\mathcal{G}m{M}_T}{2r^2}\Delta r=-3,65\times 10^9\mathrm{J}.$$ La vitesse, $v=\sqrt{\mathcal{G}{M}_T/r}$, varie de $\Delta v\approx -\frac{v}{2r}\Delta r=+1,13\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ par mois. L'énergie potentielle a diminué de $7,3\times 10^9\mathrm{J}$, l'énergie cinétique a augmenté de $3,65\times 10^9\mathrm{J}$.

4) La traînée. En un mois, l'ISS parcourt $v\Delta t=7,67\times 10^3\times 30\times 86400\approx 2,0\times 10^{10}\mathrm{m}$, et $W(\overrightarrow{f})=-fv\Delta t=\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$, donc $$f=\frac{|\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}|}{v\Delta t}\approx 0,18\mathrm{N}.$$ Le poids d'une pomme, sur quatre cent vingt tonnes : l'orbite reste bien quasi circulaire. Puis $$\rho =\frac{2f}{S{C}_x{v}^2}\approx \frac{2\times 0,18}{4\times 10^3\times (7,67\times 10^3{)}^2}\approx 1,6\times 10^{-12}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3},$$ mille milliards de fois moins qu'au sol ($1,2\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$). C'est l'ordre de grandeur de la thermosphère à cette altitude (il varie d'un facteur dix avec l'activité solaire) : un vide meilleur que celui des laboratoires, et pourtant suffisant pour faire retomber la station en quelques années.

5) Remonter. Pour passer sur une orbite plus haute, il faut augmenter ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ (croissante en $r$) : le moteur doit fournir un travail positif, donc pousser dans le sens de la vitesse — on accélère. L'orbite devient une ellipse dont ce point est le périgée, et le satellite monte en ralentissant ; en haut, une seconde poussée circularise, et la vitesse finale est plus faible qu'au départ, puisque ${\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=-{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$. On accélère pour aller moins vite : c'est le sujet du problème.

Ce que l'exercice installe. Sur une orbite circulaire, ${\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=-{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ et ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=2{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ : ces deux relations permettent de raisonner sur une manœuvre sans résoudre aucune équation du mouvement. Et la leçon de méthode : quand un résultat semble paradoxal, faire le bilan de toutes les forces, ici avec le théorème de l'énergie cinétique, qui montre que le poids travaille.