Pourquoi l'hiver boréal est plus court que l'été

La stratégie. La loi des aires transforme une aire en une durée : si l'aire est balayée à vitesse constante, la durée d'un parcours est proportionnelle à l'aire balayée. Il suffit donc de comparer deux aires, ce que le modèle du cercle décentré rend élémentaire.

1) Mouvement plan et loi des aires. On étudie la Terre dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen, en ne retenant que l'attraction du Soleil, centrale de centre le Soleil $S$. Son moment en $S$ est nul, donc le moment cinétique ${\overrightarrow{L}}_S$ de la Terre est constant (théorème du moment cinétique). Le vecteur $\overrightarrow{SM}$ est à chaque instant orthogonal au vecteur constant ${\overrightarrow{L}}_S=\overrightarrow{SM}\wedge m\overrightarrow{v}$ : la Terre reste dans le plan passant par $S$ et orthogonal à ${\overrightarrow{L}}_S$ — le mouvement est plan. Dans ce plan, l'aire balayée pendant $\mathrm{d}t$ par le rayon vecteur est celle d'un triangle d'angle $\mathrm{d}\theta$ entre deux côtés de longueur $r$, soit $\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{d}\theta$, d'où la vitesse aréolaire $$\frac{\mathrm{d}\mathcal{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{C}{2}=\text{constante}.$$ Sur une période, le rayon vecteur balaie toute l'orbite : $\frac{C}{2}T=\mathcal{A}$, donc $\frac{\mathrm{d}\mathcal{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathcal{A}}{T}$. Dans le modèle, $\mathcal{A}=\pi a^2$.

2) La différence d'aire. Plaçons le centre $K$ du cercle à l'origine, le Soleil en $S$ à la distance $ea$ de $K$, du côté du périhélie (le point de l'orbite le plus proche de $S$ est celui qui est dans la direction $\overrightarrow{KS}$). La droite des équinoxes passe par $S$, perpendiculairement à $KS$. Elle est parallèle au diamètre du cercle perpendiculaire à $KS$, à la distance $ea$ de lui.

La droite des équinoxes, décalée de $ea$ vers le périhélie, retire à la moitié « côté périhélie » une bande de largeur $ea$ et l'ajoute à l'autre. Au premier ordre en $e$, cette bande est un rectangle de longueur la corde, soit $2a$ (la corde ne diffère du diamètre qu'au second ordre en $e$), et de largeur $ea$ : son aire vaut $2e{a}^2$. La partie côté périhélie a donc l'aire $\pi a^2/2-2e{a}^2$, l'autre $\pi a^2/2+2e{a}^2$, et $$\Delta \mathcal{A}\simeq 4e{a}^2.$$

3) L'écart de durée. Par la loi des aires, la durée de parcours d'une partie est son aire divisée par la vitesse aréolaire $\pi a^2/T$ : $$\Delta t=\frac{\Delta \mathcal{A}}{\pi a^2/T}\simeq \frac{4e}{\pi }T=\frac{4\times 0,0167}{\pi }\times 365,25\text{j}\approx 7,77\text{jours}.$$ Les deux demi-années durent alors $T/2\pm \Delta t/2$, soit environ $186,5$ et $178,7$ jours.

Laquelle est la plus longue ? La partie la plus petite est celle qui contient le périhélie : la Terre y est plus proche du Soleil et y va plus vite, elle la parcourt en $178,7$ jours. Le périhélie tombe début janvier, au milieu de l'hiver boréal : la demi-année courte va de l'équinoxe de septembre à celui de mars (automne et hiver boréaux). La demi-année longue, de mars à septembre (printemps et été boréaux), dure environ $186,5$ jours. L'hiver boréal est plus court que l'été — et c'est l'inverse dans l'hémisphère sud.

Vérification. Le calcul exact sur l'ellipse, en découpant par la droite passant par le foyer perpendiculaire au grand axe, donne aussi $7,77$ jours : l'approximation au premier ordre est excellente, comme on l'attend pour $e\approx 0,017$.

4) Comparaison avec l'observation. L'écart observé est $186,4-178,8=7,6$ jours, contre $7,77$ prédits : l'accord est à $2\%$ près, et le sens est le bon. L'écart résiduel vient surtout de la seconde hypothèse : la droite des équinoxes n'est pas exactement perpendiculaire à la droite des apsides. Le périhélie (3 janvier) suit le solstice d'hiver (21 décembre) d'environ treize jours, soit un angle d'environ $13^{\circ }$ entre la droite des solstices et la droite des apsides. La bande de la question 2) a alors pour largeur la distance de $K$ à la droite des équinoxes, $ea\cos 13^{\circ }$, et $\Delta t\simeq 7,77\times \cos 13^{\circ }\approx 7,57$ jours : c'est l'écart observé.

Ce que l'exercice installe. La loi des aires est une horloge : elle convertit une aire en une durée — réflexe qui reviendra pour la durée d'un transfert d'orbite. Et les saisons ne viennent pas de la distance au Soleil (la Terre en est au plus près en hiver boréal) mais de l'inclinaison de l'axe : l'excentricité ne fait que modifier leurs durées.