Pourquoi la Lune ne tombe pas : le boulet de Newton

Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · niveau 2

Énoncé

En 1687, Newton imagine un canon au sommet d'une montagne : plus le boulet est rapide, plus il retombe loin… jusqu'à « rater » la Terre en permanence et revenir à son point de départ — il est en orbite. La Lune, à $d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ , fait exactement cela.

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , écrire la 2^e loi de Newton et en déduire $v = G M_{T} / r$ .
Calculer $v$ pour la Lune, puis $T = 2 π r^{3} / (G M_{T})$ . Comparer aux $27, 3$ jours observés.
Évaluer $a = v^{2} / d$ et la comparer à $g_{0} = 9, 81 m / s^{2}$ . Pourquoi est-elle si faible ?
De combien la Lune « tombe-t-elle » en $1, 0 s$ ? Montrer que cette chute est exactement l'écart entre la tangente et l'orbite circulaire.

Corrigé

1. L'accélération centripète $v^{2} / r$ est fournie par la gravitation : $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ , d'où $v = \frac{G M _{T}}{r}$ (la masse de la Lune disparaît).

2. $G M_{T} = 4, 0 \times 1 0^{14}$ , $r = d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ : $v = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{14}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} \approx 1, 0 \times 1 0^{3} m / s$ . $T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{T}} \approx 2, 36 \times 1 0^{6} s$ , soit $\frac{2 , 36 \times 1 0 ^{6}}{86400} \approx 27, 4 jours$ , en accord avec les $27, 3$ jours observés.

3. $a = \frac{v ^{2}}{d} = \frac{( 1 , 0 \times 1 0 ^{3} ) ^{2}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} \approx 2, 7 \times 1 0^{- 3} m / s^{2}$ , soit $g_{0} /3600$ : cohérent avec la décroissance en $1/ r^{2}$ (la Lune est à $\approx 60 R_{T}$ , et $6 0^{2} = 3600$ ).

4. En $1, 0 s$ , la chute vaut $\frac{1}{2} a Δ t^{2} \approx 1, 4 \times 1 0^{- 3} m$ ( $\approx 1, 4 mm$ ). Pendant ce temps la Lune avance de $s = v Δ t \approx 1, 0 km$ ; le cercle de rayon $d$ s'écarte de sa tangente, sur cette longueur, de $\frac{s ^{2}}{2 d} = \frac{v ^{2} Δ t ^{2}}{2 d} = \frac{1}{2} a Δ t^{2}$ , exactement la même quantité : la Lune tombe vers la Terre sans jamais s'en rapprocher.

Important

Ce que ça nous apprend. Une orbite est une chute libre qui « rate » sans cesse l'astre central : la même force qui fait tomber une pomme retient la Lune. La gravitation de Newton unifie ciel et Terre.