La cheminée qui bascule

La stratégie. Le théorème scalaire du moment cinétique donne $\ddot{\theta }$ ; la rigidité impose à tous les points le même $\ddot{\theta }$, donc une accélération tangentielle proportionnelle à la distance à l'axe.

1) L'équation du mouvement. Les actions extérieures sont le poids, appliqué en $G$ à la distance $\ell /2$ de $O$, et l'action de l'arête en $O$, de moment nul par rapport à l'axe (liaison supposée parfaite). Avec $\theta$ compté depuis la verticale ascendante et orienté dans le sens de la chute, le bras de levier du poids est $\frac{\ell }{2}\sin \theta$ et son moment est moteur, de signe positif : $$\frac{1}{3}M{\ell }^2\ddot{\theta }=Mg\frac{\ell }{2}\sin \theta ⟹\ddot{\theta }=\frac{3g}{2\ell }\sin \theta .$$ La masse disparaît. En $\theta =0$, $\ddot{\theta }=0$ : la verticale est une position d'équilibre. Elle est instable : pour $\theta$ petit, $\ddot{\theta }\simeq \frac{3g}{2\ell }\theta$, de même signe que $\theta$, donc tout écart est amplifié (les solutions sont des exponentielles croissantes, comme au voisinage du sommet d'un pendule).

2) Plus vite que la chute libre. Le sommet, à la distance $\ell$ de l'axe, a l'accélération tangentielle $$a_{\text{sommet}}=\ell \ddot{\theta }=\frac{3}{2}g\sin \theta >g\sin \theta .$$ Une brique libre n'aurait que la composante tangentielle $g\sin \theta$ : le sommet tombe plus vite qu'en chute libre, et une brique simplement posée décollerait. Un point situé à la distance $r$ de $O$ a l'accélération tangentielle $r\ddot{\theta }=\frac{3r}{2\ell }g\sin \theta$, égale à $g\sin \theta$ pour $$r=\frac{2\ell }{3}.$$ Interprétation. En dessous de $2\ell /3$, les points « voudraient » tomber plus vite que la cheminée ne le permet : le reste les retient ; au-delà, ils tombent plus vite que leur poids ne l'explique : le reste les entraîne. Un modèle de points indépendants ne peut pas donner ce phénomène.

3) L'intégrale première. On multiplie l'équation par $\dot{\theta }$ et l'on intègre — ce qui revient à écrire la conservation de l'énergie mécanique $\frac{1}{2}{J}_O{\dot{\theta }}^2+Mg\frac{\ell }{2}\cos \theta =\text{cte}$ : $${\dot{\theta }}^2=\frac{3g}{\ell }(\cos {\theta }_0-\cos \theta ).$$ Pour ${\theta }_0\to 0$ et $\theta =\pi /2$ : ${\dot{\theta }}_{\text{sol}}=\sqrt{3g/\ell }=\sqrt{3\times 9,81/30}\approx 0,99\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, et le sommet arrive à $$v_{\text{sommet}}=\ell {\dot{\theta }}_{\text{sol}}=\sqrt{3g\ell }\approx 29,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ contre $\sqrt{2g\ell }\approx 24,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ pour un objet en chute libre de la même hauteur. Le rapport vaut $\sqrt{3/2}\approx 1,22$. Le centre de masse ne descend que de $\ell /2$, mais la rotation concentre l'énergie sur la partie haute. Ordre de grandeur : plus de $100\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ au sommet.

4) La durée de la chute. Elle s'obtient en intégrant numériquement $\mathrm{d}t=\mathrm{d}\theta /\dot{\theta }$. Diviser l'angle initial par cinq n'allonge la chute que de $2,3\mathrm{s}$ : près de l'équilibre instable, l'écart croît exponentiellement avec le temps caractéristique $\sqrt{2\ell /(3g)}\approx 1,43\mathrm{s}$, et $1,43\times \ln 5\approx 2,3\mathrm{s}$ — exactement l'écart constaté. Depuis ${\theta }_0=0$ exactement, la cheminée ne tomberait jamais : elle est en équilibre, et la durée tend vers l'infini comme $\ln (1/{\theta }_0)$. Ce sont les irrégularités de la base qui fixent ${\theta }_0$ ; les démolisseurs entaillent la base d'un côté pour choisir la direction et raccourcir la chute.

5) La rupture. Les parties haute et basse n'ont pas, sous leur seul poids, l'accélération que la rigidité leur impose : la maçonnerie transmet des efforts transversaux qui plient la cheminée, au maximum vers $\ell /3$ de la base (résultat admis). Une maçonnerie résiste bien à la compression mais mal à la traction : le côté tendu cède, et la cheminée se brise en vol vers le tiers de sa hauteur, comme le montrent les films de démolition.

Ce que l'exercice installe. La rigidité impose un même $\ddot{\theta }$ à tous les points : un solide n'est pas une collection de points en chute libre, ses parties s'échangent des efforts. L'intégrale première donne les vitesses sans résoudre l'équation, et la durée d'un mouvement issu d'un équilibre instable diverge logarithmiquement.