La machine d'Atwood à poulie pesante

La stratégie. Trois corps : une équation par corps (quantité de mouvement pour les masses, moment cinétique pour la poulie), reliées par les équations de liaison du fil ; les tensions s'éliminent.

1) La poulie idéale et la poulie pesante. Le fil exerce sur la poulie, en chacun des deux brins, une force tangente au disque, de bras de levier $R$. Orientons l'axe de la poulie dans le sens où $m_1$ descend : le brin de $m_1$ a un moment $+T_{1}R$, celui de $m_2$ un moment $-T_{2}R$. Le poids de la poulie et la réaction de l'axe passent par l'axe : moment nul. Le théorème scalaire du moment cinétique s'écrit $$J\ddot{\theta }=(T_1-T_2)R.$$ Si $J=0$, il impose $T_1=T_2$ : une poulie sans masse transmet la tension sans la modifier, c'est l'hypothèse implicite de toutes les poulies du chapitre 2. Si $J\ne 0$, il faut un couple net pour mettre la poulie en rotation : les deux tensions diffèrent, et c'est cet écart qui entraîne la poulie.

2) Les équations. On oriente vers le bas pour $m_1$, vers le haut pour $m_2$ ; le fil étant inextensible, les deux masses ont la même accélération algébrique $a$ dans ces orientations. Le fil ne glisse pas sur la poulie : un point de la jante a la vitesse du fil, donc $R\dot{\theta }=v$ et $R\ddot{\theta }=a$. Les équations sont : $$m_{1}a=m_{1}g-T_1,m_{2}a=T_2-m_{2}g,J\frac{a}{R}=(T_1-T_2)R.$$ On ajoute les deux premières : $(m_1+m_2)a=(m_1-m_2)g-(T_1-T_2)$. La troisième donne $T_1-T_2=\frac{J}{R^2}a$. En reportant : $$a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}.$$ Homogénéité : $J/R^2$ est en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{m}}^2=\mathrm{kg}$, il s'ajoute bien aux masses.

3) Valeurs et interprétation. $J=\frac{1}{2}\times 1,0\times 0,050^2=1,25\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, d'où $J/R^2=\frac{1}{2}M=0,50\mathrm{kg}$. Ainsi $$a=\frac{0,5\times 9,81}{2,0+1,5+0,50}\approx 1,23\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},a_0=\frac{0,5\times 9,81}{3,5}\approx 1,40\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}.$$ La poulie pesante réduit l'accélération de $12,5\%$ (en effet $a/a_0=3,5/4,0=0,875$). Le terme $J/R^2$ est une masse inertielle ajoutée : il figure au dénominateur, avec les masses à mettre en mouvement, pas au numérateur, avec ce qui fait bouger (le poids de la poulie s'applique sur l'axe). Un disque compte pour la moitié de sa masse, un anneau pour sa masse entière.

4) Les tensions. $$T_1=m_1(g-a)\approx 2,0\times 8,58\approx 17,17\mathrm{N},T_2=m_2(g+a)\approx 1,5\times 11,04\approx 16,55\mathrm{N}.$$ Leur écart, $0,61\mathrm{N}$, vaut bien $\frac{J}{R^2}a=0,50\times 1,23\approx 0,61\mathrm{N}$. Arrondies à deux chiffres, les deux tensions valent $17\mathrm{N}$ : l'effet, moins de $4\%$, ne se voit qu'avec trois chiffres, et c'est pourtant le seul moteur de la rotation de la poulie.

5) Vérification énergétique. Le système {masses + poulie + fil} ne dissipe rien (pivot parfait, fil inextensible qui ne glisse pas). Après une descente $h$ de $m_1$ (et une montée $h$ de $m_2$), à partir du repos, le travail du poids vaut $(m_1-m_2)gh=0,5\times 9,81\times 1,0=4,905\mathrm{J}$. L'énergie cinétique vaut $${\mathcal{E}}_c=\frac{1}{2}{m}_1{v}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}^2+\frac{1}{2}J(\frac{v}{R}{)}^2=\frac{1}{2}(m_1+m_2+\frac{J}{R^2})v^2.$$ Avec $v^2=2ah$ (mouvement uniformément accéléré), $v\approx 1,57\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\mathcal{E}}_c=\frac{1}{2}\times 4,0\times 2,453\approx 4,905\mathrm{J}$. Les deux bilans concordent.

6) Le treuil et les cas limites. Sans $m_2$, la même démarche donne $$a=\frac{m_{1}g}{m_1+J/R^2},$$ soit $a=2,0\times 9,81/2,5\approx 7,85\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ ici, au lieu de $g$. Si $J\to 0$, $a\to (m_1-m_2)g/(m_1+m_2)$ (Atwood idéal) et, sans $m_2$, $a\to g$ (chute libre). Si $J\to \infty$, $a\to 0$ : une poulie infiniment inerte ne se met pas en mouvement.

Ce que l'exercice installe. Pour plusieurs corps : un théorème par corps, adapté à son mouvement, puis les équations de liaison ($R\ddot{\theta }=a$ pour un fil qui ne glisse pas). Une poulie pesante est une masse inertielle ajoutée $J/R^2$ et sépare les tensions ; le bilan énergétique, qui court-circuite les tensions, vérifie le tout.