Le pendule de torsion et la méthode des deux périodes

La stratégie. C'est l'oscillateur harmonique du chapitre 4 en rotation : on établit l'équation par l'énergie, on la retrouve par le moment cinétique, puis on exploite la période pour mesurer.

1) L'énergie potentielle de torsion. La puissance d'un couple de moment $\mathcal{M}$ appliqué à un solide qui tourne à $\dot{\theta }$ est $\mathcal{M}\dot{\theta }$. Pour le couple de rappel, le travail entre les angles $0$ et $\theta$ vaut $$W={\int }_0^{\theta }(-K{\theta }^{\prime })\mathrm{d}{\theta }^{\prime }=-\frac{1}{2}K{\theta }^2.$$ Il ne dépend que des positions initiale et finale : le couple est conservatif, et il dérive de ${\mathcal{E}}_p=\frac{1}{2}K{\theta }^2$ (à une constante près), puisque $W=-\Delta {\mathcal{E}}_p$. C'est l'analogue exact de $\frac{1}{2}k{x}^2$ pour un ressort.

2) L'équation par l'énergie, puis par le moment cinétique. Le poids et la tension du fil, parallèles à l'axe, ont un moment nul et ne travaillent pas. L'énergie mécanique est donc conservée : $${\mathcal{E}}_m=\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}K{\theta }^2=\text{cte}.$$ En dérivant : $J\dot{\theta }\ddot{\theta }+K\theta \dot{\theta }=0$, et en simplifiant par $\dot{\theta }$ (non identiquement nul) : $$J\ddot{\theta }+K\theta =0.$$ Le théorème scalaire du moment cinétique donne directement $J\ddot{\theta }=-K\theta$ : la même équation — pour un axe fixe, le théorème de l'énergie cinétique est le théorème du moment cinétique multiplié par $\dot{\theta }$. Le mouvement est harmonique, de pulsation $\sqrt{K/J}$ et de période $$T=2\pi \sqrt{\frac{J}{K}},$$ indépendante de l'amplitude tant que la loi de rappel reste linéaire — contrairement au pendule pesant. Homogénéité : $K$ est en $\mathrm{N}\mathrm{m}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}$, $J/K$ en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2})={\mathrm{s}}^2$.

3) La méthode des deux périodes. Les deux masses ponctuelles, à la distance $b$ de l'axe, ajoutent au moment d'inertie $\Delta J=2m{b}^2$ (somme des $m_i{r}_i^2$) ; la constante du fil ne change pas. D'où $$T_1^2=4{\pi }^2\frac{J}{K},T_2^2=4{\pi }^2\frac{J+\Delta J}{K}.$$ On a deux équations et deux inconnues. En soustrayant : $T_2^2-T_1^2=4{\pi }^2\Delta J/K$, d'où $$K=\frac{4{\pi }^2\Delta J}{T_2^2-T_1^2},J=\frac{K{T}_1^2}{4{\pi }^2}=\Delta J\frac{T_1^2}{T_2^2-T_1^2}.$$ On mesure ainsi le moment d'inertie d'un solide quelconque avec une balance, une règle et un chronomètre : c'est la capacité expérimentale du programme.

4) Application numérique. $\Delta J=2\times 0,100\times 0,10^2=2,0\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, et $T_2^2-T_1^2=6,25-4,00=2,25{\mathrm{s}}^2$, d'où $$J=2,0\times 10^{-3}\times \frac{4,00}{2,25}\approx 3,6\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2,$$ $$K=\frac{4{\pi }^2\times 2,0\times 10^{-3}}{2,25}\approx 3,5\times 10^{-2}\mathrm{N}\mathrm{m}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}.$$ Ordre de grandeur : un couple de $3,5\times 10^{-2}\mathrm{N}\mathrm{m}$ par radian, c'est le couple qu'exercerait un poids de $3,5\mathrm{g}$ au bout d'un bras d'un mètre : un fil de torsion est un instrument très souple. Ceux des balances de Coulomb et de Cavendish le sont bien davantage.

5) Symétrie et précision. Placées symétriquement, les deux masses laissent le centre de masse sur l'axe : le fil reste vertical et le poids n'exerce aucun moment. Quant à l'incertitude : $J$ dépend de $T_2^2-T_1^2$, qui est une différence. Si $T_2$ est très proche de $T_1$, une petite erreur sur l'une des périodes produit une grande erreur relative sur cette différence. Il faut donc choisir $\Delta J$ du même ordre que $J$, comme ici ($\Delta J/J\approx 0,56$), pour que les deux périodes soient franchement distinctes, et chronométrer un grand nombre d'oscillations.

Ce que l'exercice installe. Un couple de rappel linéaire fait d'un solide en rotation un oscillateur harmonique de période $2\pi \sqrt{J/K}$ ; énergie et moment cinétique donnent la même équation pour un axe fixe. Et une méthode différentielle mesure deux inconnues avec deux périodes, à condition que la perturbation ne soit pas trop petite.