Pendule pesant : de l'oscillation à la révolution

La stratégie. On ne résout pas l'équation non linéaire : on en tire une intégrale première, qui relie $\dot{\theta }$ à $\theta$ et suffit à classer tous les mouvements.

1) L'intégrale première. Le théorème scalaire du moment cinétique donne $J_{\Delta }\ddot{\theta }=-mgd\sin \theta$ (le poids, de bras de levier $d\sin \theta$, est un moment de rappel ; la liaison parfaite a un moment nul). On multiplie par $\dot{\theta }$ : $$J_{\Delta }\dot{\theta }\ddot{\theta }+mgd\dot{\theta }\sin \theta =0⟺\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+mgd(1-\cos \theta )]=0.$$ La quantité entre crochets est l'énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique de rotation et de l'énergie potentielle de pesanteur (l'altitude de $G$ est $-d\cos \theta$, à une constante près). En divisant par $\frac{1}{2}{J}_{\Delta }$ et en évaluant la constante en $\theta =0$ : $${\dot{\theta }}^2={\dot{\theta }}_0^2-2{\omega }_0^2(1-\cos \theta ).$$

2) Lâché à l'horizontale. $\dot{\theta }=0$ en $\theta =\pi /2$ impose ${\dot{\theta }}_0^2=2{\omega }_0^2(1-\cos \frac{\pi }{2})=2{\omega }_0^2$, d'où $${\dot{\theta }}_0=\sqrt{2}{\omega }_0=\sqrt{\frac{2mgd}{J_{\Delta }}}.$$

3) Oscillations ou révolutions. Le mouvement n'est possible que là où ${\dot{\theta }}^2\ge 0$, c'est-à-dire là où $2{\omega }_0^2(1-\cos \theta )\le {\dot{\theta }}_0^2$. La fonction $2{\omega }_0^2(1-\cos \theta )$ varie entre $0$ (en bas) et $4{\omega }_0^2$ (en haut, $\theta =\pi$).

• Si ${\dot{\theta }}_0<2{\omega }_0$, il existe un angle ${\theta }_m\in ]0,\pi [$ où $\dot{\theta }$ s'annule : $1-\cos {\theta }_m={\dot{\theta }}_0^2/(2{\omega }_0^2)$, soit $\sin ({\theta }_m/2)={\dot{\theta }}_0/(2{\omega }_0)$, en utilisant $1-\cos \theta =2{\sin }^2(\theta /2)$. Le pendule s'arrête en ${\theta }_m$, repart, et oscille entre $-{\theta }_m$ et ${\theta }_m$ : $${\theta }_m=2\arcsin \frac{{\dot{\theta }}_0}{2{\omega }_0}.$$
• Si ${\dot{\theta }}_0>2{\omega }_0$, ${\dot{\theta }}^2$ reste strictement positif pour tout $\theta$, au minimum ${\dot{\theta }}_0^2-4{\omega }_0^2$ en haut : $\dot{\theta }$ ne change jamais de signe et le pendule fait des tours complets, toujours dans le même sens. C'est une révolution.

Le seuil ${\dot{\theta }}_0=2{\omega }_0$ correspond à une énergie cinétique au point bas égale à $2mgd$, exactement l'énergie potentielle nécessaire pour monter $G$ de $2d$, de la position basse à la position haute.

4) Le portrait de phase. Dans le plan $(\theta ,\dot{\theta })$, chaque valeur de ${\dot{\theta }}_0$ définit une courbe.

• Les oscillations donnent des courbes fermées autour de $(0,0)$ (et de ses translatés de $2\pi$) ; pour les petites amplitudes, $1-\cos \theta \simeq {\theta }^2/2$ et l'intégrale première devient ${\dot{\theta }}^2+{\omega }_0^2{\theta }^2={\dot{\theta }}_0^2$ : des ellipses, celles de l'oscillateur harmonique du chapitre 4.
• Les révolutions donnent des courbes ouvertes, ondulées, qui ne coupent jamais l'axe $\dot{\theta }=0$.
• La séparatrice sépare ces deux familles. Avec ${\dot{\theta }}_0=2{\omega }_0$ : $${\dot{\theta }}^2=4{\omega }_0^2-2{\omega }_0^2(1-\cos \theta )=2{\omega }_0^2(1+\cos \theta )=4{\omega }_0^2{\cos }^2\frac{\theta }{2},$$ d'où $\dot{\theta }=\pm 2{\omega }_0\cos (\theta /2)$ : deux arches qui se rejoignent aux points $(\pm \pi ,0)$, la position haute, qui est un équilibre instable.

5) La position haute en un temps infini. Sur la séparatrice, $\dot{\theta }$ tend vers $0$ quand $\theta \to \pi$ : la question est de savoir si le pendule y arrive en un temps fini. On pose $\phi =\pi -\theta$, petit. Alors $\cos (\theta /2)=\sin (\phi /2)\simeq \phi /2$, et l'équation de la séparatrice devient, pour $\theta$ croissant vers $\pi$ (donc $\phi$ décroissant vers $0$) : $$\dot{\phi }=-{\omega }_0\phi .$$ Sa solution est $\phi (t)={\phi }_1{e}^{-{\omega }_0(t-t_1)}$ : $\phi$ décroît exponentiellement et ne s'annule jamais. Le pendule s'approche indéfiniment de la position haute sans l'atteindre en un temps fini. La durée $\int \mathrm{d}\phi /({\omega }_0\phi )$ diverge logarithmiquement, comme pour la cheminée, et pour la même raison : on approche un équilibre instable. Conséquence : la période des oscillations tend vers l'infini quand l'amplitude tend vers $\pi$.

6) Application à la tige. $${\omega }_0=\sqrt{\frac{mgL/2}{\frac{1}{3}m{L}^2}}=\sqrt{\frac{3g}{2L}}=\sqrt{\frac{3\times 9,81}{2\times 1,00}}\approx 3,84\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le seuil de révolution est $2{\omega }_0\approx 7,67\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit pour l'extrémité libre une vitesse $L\times 2{\omega }_0\approx 7,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ au passage en bas. Lâchée à l'horizontale, elle passe en bas à $\sqrt{2}{\omega }_0\approx 5,42\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, sous le seuil : elle oscille, avec une période des petites oscillations $2\pi /{\omega }_0\approx 1,64\mathrm{s}$, plus courte que celle du pendule simple de même longueur ($2,01\mathrm{s}$).

Ce que l'exercice installe. L'intégrale première classe les mouvements sans résoudre l'équation : oscillations, révolutions, séparatrice. Le portrait de phase en donne l'image globale, où l'oscillateur harmonique n'est que le voisinage de l'équilibre stable ; près d'un équilibre instable, la dynamique est exponentielle.