Problème : le pendule réversible de Kater

1) Équation du mouvement et période. Le système est le pendule, solide en rotation autour de l'axe fixe $\Delta$ dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Les actions extérieures sont le poids, appliqué en $G$, et l'action de l'axe, de moment nul par rapport à $\Delta$ (liaison pivot sans frottement). Le bras de levier du poids est $d\sin \theta$, et son moment tend à ramener $\theta$ vers $0$ : il vaut $-mgd\sin \theta$. Le théorème scalaire du moment cinétique donne $$J_{\Delta }\ddot{\theta }=-mgd\sin \theta .$$ Pour les petites oscillations, $\sin \theta \simeq \theta$, et l'équation est celle d'un oscillateur harmonique, $\ddot{\theta }+\frac{mgd}{J_{\Delta }}\theta =0$, de période $$T=2\pi \sqrt{\frac{J_{\Delta }}{mgd}}.$$

2) La longueur synchrone. En remplaçant $J_{\Delta }$ par sa valeur : $$T=2\pi \sqrt{\frac{m(k^2+d^2)}{mgd}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{g}(d+\frac{k^2}{d})}=2\pi \sqrt{\frac{{\ell }_{\text{eˊq}}(d)}{g}}.$$ La masse a disparu. Un pendule simple de longueur $\ell$ a la période $2\pi \sqrt{\ell /g}$ : le pendule pesant a donc la même période que le pendule simple de longueur ${\ell }_{\text{eˊq}}=d+k^2/d$, qu'on appelle la longueur du pendule simple synchrone. Homogénéité : $k$ et $d$ sont des longueurs, $k^2/d$ aussi, et ${\ell }_{\text{eˊq}}/g$ est en ${\mathrm{s}}^2$. Cas limite : si $k\to 0$, toute la masse est concentrée en $G$, $J_{\Delta }\to m{d}^2$, et ${\ell }_{\text{eˊq}}\to d$ : on retrouve le pendule simple de longueur $d$. Pour $k\ne 0$, ${\ell }_{\text{eˊq}}>d$.

3) Le minimum de la période. $T$ varie comme $\sqrt{{\ell }_{\text{eˊq}}}$, donc dans le même sens que ${\ell }_{\text{eˊq}}$. Étudions $f(d)=d+k^2/d$ sur $]0,+\infty [$ : $$f^{\prime }(d)=1-\frac{k^2}{d^2}=\frac{(d-k)(d+k)}{d^2},$$ négative pour $d<k$, nulle en $d=k$, positive pour $d>k$. La fonction $f$, donc $T$, décroît puis croît, avec un minimum en $d=k$, où $f(k)=2k$. Quand $d\to 0$, $f\to +\infty$ : un axe passant presque par $G$ ne donne presque aucun rappel ; quand $d\to +\infty$, $f(d)\sim d$ : le pendule simple. Le minimum vaut $$T_{\text{min}}=2\pi \sqrt{\frac{2k}{g}}.$$ Pour la tige de $1,00\mathrm{m}$ : $k=1,00/\sqrt{12}\approx 0,289\mathrm{m}$, et $T_{\text{min}}=2\pi \sqrt{2\times 0,289/9,81}\approx 1,52\mathrm{s}$, obtenue avec un axe à $28,9\mathrm{cm}$ du milieu de la tige.

Au minimum, la dérivée $\mathrm{d}T/\mathrm{d}d$ est nulle : un petit déplacement $\delta d$ de l'axe (usure du couteau, dilatation) ne modifie la période qu'au second ordre, en $\delta d^2$. Une horloge dont l'axe est placé en $d=k$ est donc insensible au premier ordre aux défauts de position de l'axe

4) Les couples de points isochrones. Deux distances $d_1\ne d_2$ donnent la même période si et seulement si $f(d_1)=f(d_2)$. Or $$f(d_1)-f(d_2)=(d_1-d_2)+k^2(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2})=(d_1-d_2)(1-\frac{k^2}{d_1{d}_2}).$$ Comme $d_1\ne d_2$, le premier facteur n'est pas nul ; donc $f(d_1)=f(d_2)$ si et seulement si $1-\frac{k^2}{d_1{d}_2}=0$, c'est-à-dire $$d_1{d}_2=k^2.$$ Dans ce cas $k^2/d_1=d_2$, donc $f(d_1)=d_1+d_2$, et la période commune vaut $$T=2\pi \sqrt{\frac{d_1+d_2}{g}}.$$ Géométriquement, les deux distances sont de part et d'autre du minimum ($d_1<k<d_2$) : c'est la lecture de la courbe en U de la question 3, où chaque valeur de $T$ supérieure au minimum est atteinte deux fois. Application : $d_2=k^2/d_1=(1/12)/0,200\approx 0,417\mathrm{m}$, et $T=2\pi \sqrt{0,617/9,81}\approx 1,58\mathrm{s}$ (plus précisément $1,575\mathrm{s}$).

5) Le principe de la mesure, et sa précision. Le pendule porte deux couteaux, en $O_1$ et $O_2$, de part et d'autre de $G$, sur une même droite passant par $G$. On déplace une masse réglable (ce qui change $k$ et la position de $G$) jusqu'à ce que les périodes autour des deux couteaux soient égales. D'après le 4), les distances étant différentes, on a alors $d_1{d}_2=k^2$, et la période commune est celle d'un pendule simple de longueur $d_1+d_2=O_1{O}_2$, la distance entre les deux couteaux : $$g=\frac{4{\pi }^2{O}_1{O}_2}{T^2}.$$ Les deux grandeurs mal connues — $J_{\Delta }$ (ou $k$) et la position de $G$ — ont été éliminées par la condition d'égalité des périodes. Restent une longueur entre deux arêtes fixes et une durée.

Pour l'incertitude, les erreurs de longueur et de durée sont indépendantes ; elles se composent en somme quadratique, et $g$ dépend de $T^2$, d'où un facteur $2$ : $$\frac{u(g)}{g}=\sqrt{(\frac{u(\ell )}{\ell }{)}^2+(2\frac{u(T)}{T}{)}^2}.$$ Avec $\ell =0,617\mathrm{m}$ et $u(\ell )=0,5\mathrm{mm}$, $u(\ell )/\ell \approx 8,1\times 10^{-4}$. La durée de $100$ oscillations, $157,5\mathrm{s}$, est connue à $0,02\mathrm{s}$ près : $u(T)/T\approx 1,3\times 10^{-4}$, et le terme $2u(T)/T\approx 2,5\times 10^{-4}$. D'où $u(g)/g\approx 8,5\times 10^{-4}$, de l'ordre de $10^{-3}$, soit $u(g)\approx 0,008\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. La mesure de longueur domine : chronométrer cent oscillations a rendu le terme temporel petit, c'est la distance entre couteaux qu'il faut mesurer mieux.

6) Vérification et principe. Pour la tige suspendue par une extrémité, $d=L/2$ et $k^2=L^2/12$ : $${\ell }_{\text{eˊq}}=\frac{L}{2}+\frac{L^2/12}{L/2}=\frac{L}{2}+\frac{L}{6}=\frac{2L}{3},T=2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}.$$ C'est le résultat direct avec $J_{\Delta }=m(L^2/12+L^2/4)=\frac{1}{3}m{L}^2$. Pour $L=1,00\mathrm{m}$, $T\approx 1,64\mathrm{s}$, au-dessus du minimum $1,52\mathrm{s}$ comme il se doit. Le point conjugué de l'extrémité est à $k^2/(L/2)=L/6$ de $G$, aux deux tiers de la tige : la même période y règne.

Le principe établi — le pendule réversible de Kater (Henry Kater, 1817). Si un pendule pesant a la même période autour de deux axes parallèles, situés de part et d'autre de son centre de masse à des distances différentes, alors ces distances vérifient $d_1{d}_2=k^2$ et la période est celle d'un pendule simple de longueur égale à la distance entre les deux axes : $T=2\pi \sqrt{(d_1+d_2)/g}$. On mesure ainsi $g$ par une longueur et une durée, sans connaître ni le moment d'inertie du pendule, ni la position de son centre de masse.

Ce que l'exercice installe. Trois idées, qui dépassent ce chapitre. La première : un solide se ramène, pour sa période, à un pendule simple de longueur ${\ell }_{\text{eˊq}}=J_{\Delta }/(md)$, et le rayon de giration mesure l'écart à ce modèle. La deuxième : l'étude d'une fonction — un minimum où la dérivée s'annule — a un sens physique, l'insensibilité au premier ordre aux défauts. La troisième, la plus profonde : une mesure bien conçue élimine les grandeurs mal connues par une condition de symétrie (ici l'égalité de deux périodes), au lieu de chercher à les mesurer. C'est le principe de toute méthode de zéro.