Durée du régime transitoire selon $Q$

1) Les racines. L'équation caractéristique $r^2+\frac{{\omega }_0}{Q}r+{\omega }_0^2=0$ a pour discriminant $\Delta ={\omega }_0^2(\frac{1}{Q^2}-4)$.

• Si $Q>\frac{1}{2}$, les racines sont complexes conjuguées, de partie réelle $-\frac{{\omega }_0}{2Q}$ : $\tau {\omega }_0=2Q$.
• Si $Q<\frac{1}{2}$, elles sont réelles, négatives : $r_{\pm }=\frac{{\omega }_0}{2Q}(-1\pm \sqrt{1-4Q^2})$. La plus lente est $r_{+}$, de valeur absolue $\frac{{\omega }_0}{2Q}(1-\sqrt{1-4Q^2})$, d'où $\tau {\omega }_0=\frac{2Q}{1-\sqrt{1-4Q^2}}$.
• Si $Q=\frac{1}{2}$, racine double $-{\omega }_0$ : $\tau {\omega }_0=1$.

2) Les cas limites. Pour $Q\gg 1$, le résultat $\tau =2Q/{\omega }_0$ est exact (régime pseudo-périodique) : l'enveloppe décroît d'autant plus lentement que $Q$ est grand. Pour $Q\ll 1$, le développement $\sqrt{1-4Q^2}=1-2Q^2+O(Q^4)$ donne $1-\sqrt{1-4Q^2}\simeq 2Q^2$, et $$\tau \simeq \frac{2Q}{2Q^2{\omega }_0}=\frac{1}{Q{\omega }_0}=\frac{h}{m{\omega }_0^2}=\frac{h}{k},$$ puisque $Q=\frac{m{\omega }_0}{h}$ et $m{\omega }_0^2=k$. Interprétation. La masse a disparu du résultat. Quand le frottement domine, l'inertie devient négligeable : l'équation $m\ddot{x}+h\dot{x}+kx=0$ se réduit à $h\dot{x}+kx=0$, une équation du premier ordre, de constante de temps $h/k$. L'autre racine, $r_{-}\simeq -\frac{{\omega }_0}{Q}=-\frac{h}{m}$, très rapide, ne décrit qu'une brève mise en vitesse initiale. Un oscillateur très amorti n'oscille pas, il rampe vers l'équilibre.

3) La courbe. $\tau {\omega }_0\approx 19,9$ ; $4,8$ ; $1$ ; $4$ ; $20$ pour $Q=0,05$ ; $0,2$ ; $0,5$ ; $2$ ; $10$. La courbe a la forme d'un V : elle décroît comme $1/Q$ pour les petits $Q$, croît comme $2Q$ pour les grands, et passe par son minimum, $\tau {\omega }_0=1$, au régime critique. C'est le sens précis de la phrase « le régime critique est le plus rapide » : il minimise la constante de temps de l'exponentielle la plus lente. On verra à l'exercice suivant que ce n'est pas tout à fait la même chose que revenir le plus vite près de l'équilibre.

4) Le tiroir. ${\omega }_0=\sqrt{50/2,0}=5,0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $Q=\frac{m{\omega }_0}{h}=\frac{10}{300}\approx 0,033$ : régime très apériodique. Les racines de $2r^2+300r+50=0$ sont $r_{-}\approx -150{\mathrm{s}}^{-1}$ et $r_{+}\approx -0,167{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où $\tau \approx 6,0\mathrm{s}$, en accord avec $h/k=6,0\mathrm{s}$. Le tiroir se ferme beaucoup trop lentement : il lui faut une vingtaine de secondes pour parcourir $95\%$ du chemin. Le réglage critique, $h_c=2\sqrt{km}=20\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$, donne $\tau =1/{\omega }_0=0,20\mathrm{s}$ : trente fois plus rapide, et toujours sans rebond (le tiroir ne claque pas). On choisira $h$ un peu au-dessus de $h_c$ pour garder une marge contre le dépassement.

Ce que l'exercice installe. La durée d'un régime transitoire se lit sur les parties réelles des racines du polynôme caractéristique ; c'est la racine la plus lente qui commande. Aux deux extrémités, on reconnaît des comportements simples : décroissance en ${\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t/(2Q)}$ pour $Q\gg 1$, système du premier ordre de constante $h/k$ pour $Q\ll 1$. Ordre de grandeur à retenir : le transitoire dure quelques $\tau$.