La passerelle qui se balance et le pas des soldats

1. Loin de $f_0$, les poussées des pas sont déphasées par rapport au mouvement et se compensent en moyenne. Quand $f_{\text{pas}}\to f_0$, chaque poussée arrive en phase avec le mouvement et lui ajoute de l'énergie à chaque cycle : l'amplitude croît fortement, limitée seulement par l'amortissement.

2. À la résonance, l'amplification par rapport à une sollicitation très lente est de l'ordre du facteur de qualité :

$$\boxed{\frac{A({\omega }_0)}{A(0)}\approx Q=20}.$$

Un piéton calant ses pas sur le balancement déplace donc la passerelle environ $20$ fois plus qu'une poussée statique équivalente.

3. À $2$ pas/s, le mouvement vertical se répète à $2\mathrm{Hz}$, loin de $f_0=0,5\mathrm{Hz}$ : pas de résonance verticale. Mais latéralement, le corps bascule à droite au pas droit puis à gauche au pas gauche : le cycle latéral complet ne se referme qu'après deux pas, donc à $f_{\text{lat}}=1\mathrm{Hz}$ : deux fois plus proche de $f_0$ que le mode vertical. Sur une passerelle bondée la cadence tombe à environ un pas par seconde, et le cycle latéral se cale alors sur $0,5\mathrm{Hz}$, exactement $f_0$ : c'est ce mode latéral qui est entré en résonance.

4. Une troupe au pas cadencé concentre son énergie sur une fréquence unique ; si elle coïncide avec $f_0$, l'amplification $\times Q$ peut endommager la structure. « Rompre le pas » étale les contributions sur des fréquences et des phases aléatoires : elles ne s'additionnent plus de façon cohérente, le pic de résonance n'est plus alimenté.