Mesurer $Q$ sur un enregistrement : le décrément logarithmique

1) Le décrément. La solution s'écrit $x(t)=X{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\cos (\Omega t+\phi )$, avec $\tau =\frac{2Q}{{\omega }_0}$ et $\Omega =\frac{2\pi }{T}$. Le cosinus reprend la même valeur une pseudo-période plus tard, donc $\frac{x(t)}{x(t+T)}={\mathrm{e}}^{T/\tau }$, indépendant de $t$ : les maxima successifs forment une suite géométrique. Et $$\delta =\frac{T}{\tau }=\frac{2\pi }{\Omega \tau }=\frac{2\pi }{\sqrt{4Q^2-1}}=\frac{\pi }{\sqrt{Q^2-1/4}},$$ en réutilisant $\Omega \tau =\sqrt{4Q^2-1}$. Pour $Q\gg 1$, $\delta \simeq \frac{\pi }{Q}$.

2) La régression. Puisque $x_n=x_0{\mathrm{e}}^{-n\delta }$, on a $\ln x_n=\ln x_0-n\delta$ : le graphe de $\ln x_n$ en fonction de $n$ est une droite de pente $-\delta$. Avec $\ln x_n\approx 3,912$ ; $3,651$ ; $3,388$ ; $3,127$ ; $2,862$ ; $2,603$ ; $2,342$, les points sont alignés (coefficient de corrélation $|r|>0,9999$), et la régression linéaire donne la pente $-0,262$. Donc $\delta \approx 0,262$ et $$Q=\sqrt{\frac{{\pi }^2}{{\delta }^2}+\frac{1}{4}}\approx 12,0.$$ Pourquoi une régression. Deux points suffiraient en principe, mais ils porteraient chacun leur erreur de lecture ; la régression utilise les sept, et l'alignement lui-même est un test du modèle : un frottement visqueux donne une droite, un autre type de frottement ne la donnerait pas (exercice suivant).

3) Les paramètres. $\Omega =\frac{2\pi }{T}\approx 12,57\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, et ${\omega }_0=\frac{\Omega }{\sqrt{1-1/(4Q^2)}}\approx 12,58\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : à $Q=12$, pseudo-pulsation et pulsation propre diffèrent de $0,09\%$, ce qu'aucune mesure courante ne distingue. Puis $k=m{\omega }_0^2\approx 31,6\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, $h=\frac{m{\omega }_0}{Q}\approx 0,21\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\tau =\frac{2Q}{{\omega }_0}\approx 1,9\mathrm{s}$.

4) Le sens de $Q$. L'amplitude est divisée par deux au bout de $\frac{\ln 2}{\delta }\approx 2,6$ pseudo-périodes, et par ${\mathrm{e}}^{\pi }$ au bout de $\frac{\pi }{\delta }\simeq Q=12$ pseudo-périodes. Une oscillation réduite à $4\%$ de son amplitude initiale n'est plus guère visible : en $Q$ oscillations, l'amplitude est divisée par ${\mathrm{e}}^{\pi }\approx 23$. C'est le sens précis de « environ $Q$ oscillations visibles ».

Ce que l'exercice installe. Exploiter un relevé de régime libre : une suite géométrique se linéarise par le logarithme, et une régression linéaire donne la raison en utilisant toutes les mesures. Le décrément logarithmique donne $Q$, la pseudo-période donne ${\omega }_0$ (à $Q$ grand, $\Omega \simeq {\omega }_0$). Et le nombre d'oscillations visibles, de l'ordre de $Q$, devient une affirmation chiffrée.