Peser un astronaute en orbite

1) L'équation et la période. Système : le siège chargé, de masse $m_0+M$, dans le référentiel de la station où, comme l'énoncé l'admet, les lois de Newton s'appliquent sans pesanteur. Selon l'axe du rail, seule agit la force du ressort $-kx$, $x$ étant l'écart à la position d'équilibre ; la réaction du rail, sans frottement, est perpendiculaire au mouvement. La loi de la quantité de mouvement projetée donne $$(m_0+M)\ddot{x}=-kx⟹\ddot{x}+\frac{k}{m_0+M}x=0,T=2\pi \sqrt{\frac{m_0+M}{k}}.$$ Pourquoi cela marche. La période dépend de la masse inerte, celle qui résiste à l'accélération, et non du poids. Un pèse-personne mesure la force qu'il faut exercer pour empêcher la chute ; en orbite, rien n'empêche la chute, cette force est nulle. Le ressort, lui, mesure l'inertie, qui ne disparaît jamais.

2) Éliminer les inconnues. On élève au carré : $T^2=\frac{4{\pi }^2}{k}(m_0+M)$. D'où $$T_1^2-T_0^2=\frac{4{\pi }^2}{k}{m}_c,T_2^2-T_0^2=\frac{4{\pi }^2}{k}m.$$ Le rapport élimine $k$, et la soustraction a éliminé $m_0$ : $$m=m_c\frac{T_2^2-T_0^2}{T_1^2-T_0^2}=20,0\times \frac{1,3736-0,2372}{0,5520-0,2372}\approx 72,2\mathrm{kg}.$$ Puis $k=\frac{4{\pi }^2{m}_c}{T_1^2-T_0^2}\approx 2,51\times 10^3\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $m_0=\frac{k{T}_0^2}{4{\pi }^2}\approx 15,1\mathrm{kg}$. Le point délicat : l'étalonnage par deux mesures (siège vide, siège avec étalon) est ce qui rend la méthode absolue ; une seule mesure aurait laissé $k$ et $m_0$ inconnus.

3) La sensibilité. En différentiant $m=m_c\frac{T_2^2-T_0^2}{T_1^2-T_0^2}$ par rapport à $T_2$ : $$\delta m=\frac{2m_c{T}_2}{T_1^2-T_0^2}\delta T_2\approx \frac{2\times 20,0\times 1,172}{0,3148}\times 10^{-3}\approx 0,15\mathrm{kg}.$$ De façon équivalente, $\frac{\delta m}{m+m_0}=2\frac{\delta T_2}{T_2}$ : une erreur relative sur la période se double sur la masse. En chronométrant $N$ périodes avec la même incertitude absolue sur la durée totale, on divise l'erreur sur $T_2$ par $N$ : dix périodes donnent la masse à $15\mathrm{g}$ près.

4) Le biais. Un organe de masse $m^{\prime }$ relié au siège par un ressort est un oscillateur dont le support est en mouvement : le siège lui impose un déplacement sinusoïdal d'amplitude $X$. Sa réponse a pour amplitude $\frac{X}{1-{\omega }^2/{\omega }^{\prime 2}}$, supérieure à $X$ et en phase quand $\omega <{\omega }^{\prime }$ : l'organe « en fait un peu plus » que le siège. Le ressort qui le relie au siège doit donc lui communiquer une accélération plus grande que celle du siège, et la force qu'il exerce en retour sur le siège est celle d'une masse effective $\frac{m^{\prime }}{1-{\omega }^2/{\omega }^{\prime 2}}>m^{\prime }$. La période mesurée est un peu trop longue, et la masse est surestimée. C'est pourquoi l'astronaute devait se tenir aussi rigide que possible pendant la mesure, ce qui augmente ${\omega }^{\prime }$.

Ce que l'exercice installe. La période d'un oscillateur harmonique ne dépend que de $m/k$ : c'est un instrument de mesure de masse (ou de raideur). Une mesure différentielle élimine les inconnues parasites. Et la propagation d'une incertitude se fait en différentiant la formule — une puissance $2$ sur $T$ double l'erreur relative.