Le cercle démontré : projections et variable complexe

La stratégie. On écrit le PFD en coordonnées cartésiennes : deux équations couplées du premier ordre en $v_x$ et $v_y$. Le couplage « ${\dot{v}}_x$ proportionnel à $v_y$, ${\dot{v}}_y$ proportionnel à $-v_x$ » est celui d'une rotation : la variable complexe le transforme en une seule équation linéaire, qu'on sait résoudre.

1) Les projections. On calcule $\overrightarrow{v}\wedge {\overrightarrow{u}}_z=v_y{\overrightarrow{u}}_x-v_x{\overrightarrow{u}}_y$ (la composante $v_z{\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_z$ est nulle). Le PFD $m\overrightarrow{a}=q\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}$ donne $${\dot{v}}_x=\omega v_y,{\dot{v}}_y=-\omega v_x,{\dot{v}}_z=0.$$ La troisième équation donne $v_z=v_z(0)=0$, puis $z=z(0)=0$ : le mouvement est plan, dans le plan perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$ passant par $M_0$. C'est ici que sert l'hypothèse ${\overrightarrow{v}}_0\perp \overrightarrow{B}$ ; sans elle, $v_z$ serait une constante non nulle et la trajectoire une hélice.

2) La norme de la vitesse. On calcule $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v_x^2+v_y^2)=2v_x{\dot{v}}_x+2v_y{\dot{v}}_y=2\omega v_x{v}_y-2\omega v_y{v}_x=0.$$ La norme de la vitesse est constante, égale à $v_0$, et l'énergie cinétique aussi. C'est la traduction, composante par composante, du théorème du cours : la puissance $q(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{v}$ est nulle, et le théorème de la puissance cinétique donne $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=0$.

3) La variable complexe. On dérive $\underline{u}=v_x+i{v}_y$ : $$\frac{\mathrm{d}\underline{u}}{\mathrm{d}t}=\omega v_y-i\omega v_x=-i\omega (v_x+i{v}_y)=-i\omega \underline{u}.$$ C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant : $\underline{u}(t)={\underline{u}}_0{e}^{-i\omega t}$, avec ${\underline{u}}_0=v_{0x}+i{v}_{0y}$. On retrouve que $|\underline{u}|=|{\underline{u}}_0|=v_0$ est constant, et l'on voit en plus que le vecteur vitesse tourne à la vitesse angulaire constante $-\omega$.

Variante réelle. En dérivant, ${\ddot{v}}_x=\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$ : chaque composante est un oscillateur harmonique de pulsation $|\omega |$.

4) Le cercle. On pose $\underline{z}=x+iy$, de sorte que $\dot{\underline{z}}=\underline{u}$. On intègre : $$\underline{z}(t)={\underline{z}}_0+{\int }_0^t{\underline{u}}_0{e}^{-i\omega s}\mathrm{d}s={\underline{z}}_0+\frac{{\underline{u}}_0}{-i\omega }(e^{-i\omega t}-1)=({\underline{z}}_0-\frac{i{\underline{u}}_0}{\omega })+\frac{i{\underline{u}}_0}{\omega }{e}^{-i\omega t}.$$ Posons ${\underline{z}}_C={\underline{z}}_0-\frac{i{\underline{u}}_0}{\omega }$, constant. Alors $|\underline{z}(t)-{\underline{z}}_C|=\left|\frac{i{\underline{u}}_0}{\omega }\right|=\frac{v_0}{|\omega |}$ ne dépend pas de $t$ : la particule reste sur le cercle de centre $C$ (d'affixe ${\underline{z}}_C$) et de rayon $$R=\frac{v_0}{|\omega |}=\frac{m{v}_0}{|q|B}.$$ Elle le parcourt à vitesse angulaire constante $|\omega |={\omega }_c=\frac{|q|B}{m}$, la pulsation cyclotron, avec la période $T=\frac{2\pi m}{|q|B}$, indépendante de la vitesse. Le centre est situé à la distance $R$ de $M_0$, dans la direction de $-i{\underline{u}}_0/\omega$, c'est-à-dire perpendiculairement à la vitesse initiale : on le construit en portant $R$ sur la perpendiculaire à ${\overrightarrow{v}}_0$ en $M_0$, du côté où pointe la force initiale $q{\overrightarrow{v}}_0\wedge \overrightarrow{B}$.

5) Le sens de parcours. Le facteur $e^{-i\omega t}$ décrit une rotation d'angle $-\omega t$ autour de $C$, comptée dans le sens trigonométrique du plan $Oxy$ vu depuis les $z$ positifs, c'est-à-dire depuis le côté vers lequel pointe $\overrightarrow{B}$. Si $q>0$, $\omega >0$ : l'angle décroît, la rotation est horaire. Si $q<0$, $\omega <0$ : la rotation est trigonométrique. Les deux cas se résument par le vecteur rotation $$\overrightarrow{\Omega }=-\omega {\overrightarrow{u}}_z=-\frac{q}{m}\overrightarrow{B}:$$ une charge positive tourne dans le sens opposé à $\overrightarrow{B}$ selon la règle de la main droite, une charge négative dans le sens de $\overrightarrow{B}$. Dans une chambre à bulles, le sens d'enroulement d'une trace donne ainsi le signe de la charge.

6) L'électron. $R=\frac{9,11\times 10^{-31}\times 1,0\times 10^5}{1,60\times 10^{-19}\times 1,0\times 10^{-3}}\approx 0,57\mathrm{mm}$, ${\omega }_c=\frac{eB}{m_e}\approx 1,76\times 10^8\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $T=\frac{2\pi }{{\omega }_c}\approx 36\mathrm{ns}$. Un champ de l'ordre du millitesla enroule un électron lent sur un cercle d'un demi-millimètre, trente millions de fois par seconde.

Ce que l'exercice installe. La variable complexe pour un système de deux équations couplées par une rotation, qu'on retrouvera pour les oscillateurs et en électrocinétique ; la démonstration complète, et non plus l'argument, du mouvement circulaire, avec le centre et le sens de parcours ; et le vecteur rotation $\overrightarrow{\Omega }=-\frac{q}{m}\overrightarrow{B}$, qui résume d'un seul coup la pulsation et le sens.