Le magnétron plan : la coupure de Hull

La stratégie. Le mouvement est plan mais couplé : la force magnétique mélange les composantes $x$ et $y$ de la vitesse, et la trajectoire n'est ni une parabole ni un cercle. On ne cherche pas à la calculer. On va chercher deux quantités conservées, chacune donnant une relation entre la vitesse et la position ; deux relations pour deux composantes de la vitesse suffisent à trouver le point où $v_y$ s'annule, c'est-à-dire la hauteur maximale.

1) L'intégrale première de l'énergie. La puissance de la force de Lorentz se réduit à celle de la force électrique, car $(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{v}=0$ : le produit vectoriel est orthogonal à $\overrightarrow{v}$. Le théorème de la puissance cinétique donne donc $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=(-e)\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{v}=(-e)(-\frac{U}{d})\dot{y}=\frac{eU}{d}\dot{y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(eU\frac{y}{d}\right).$$ La quantité $\frac{1}{2}m{v}^2-eU\frac{y}{d}$ a une dérivée nulle : elle est constante, et vaut sa valeur initiale, $0$, puisque l'électron part du repos en $y=0$. C'est la conservation de l'énergie mécanique, l'énergie potentielle de l'électron étant $(-e)V(y)$. Le champ $B$ n'y figure pas parce qu'il ne travaille pas : il peut tordre la trajectoire autant qu'il veut, il ne change pas la relation entre la vitesse et l'altitude. On retient $$v^2=\frac{2eU}{md}y.$$

2) L'intégrale première de la projection sur ${\overrightarrow{u}}_x$. Calculons la force magnétique : $\overrightarrow{v}\wedge {\overrightarrow{u}}_z=(v_x{\overrightarrow{u}}_x+v_y{\overrightarrow{u}}_y)\wedge {\overrightarrow{u}}_z=-v_x{\overrightarrow{u}}_y+v_y{\overrightarrow{u}}_x$. Donc $$-e\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}=-eB{v}_y{\overrightarrow{u}}_x+eB{v}_x{\overrightarrow{u}}_y.$$ La force électrique $-e\overrightarrow{E}=\frac{eU}{d}{\overrightarrow{u}}_y$ n'a pas de composante selon ${\overrightarrow{u}}_x$. La projection du PFD sur ${\overrightarrow{u}}_x$ s'écrit $$m\frac{\mathrm{d}{v}_x}{\mathrm{d}t}=-eB\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},$$ et c'est une égalité entre deux dérivées : elle s'intègre immédiatement en $m{v}_x=-eBy+\text{cte}$. À l'instant initial, $v_x=0$ et $y=0$, donc la constante est nulle : $$m{v}_x=-eBy.$$

Le point délicat. Ce n'est pas un hasard de calcul : selon ${\overrightarrow{u}}_x$, la seule force est magnétique, et elle est proportionnelle à $v_y=\dot{y}$. Chaque fois qu'une composante de la force est proportionnelle à la dérivée d'une coordonnée, la projection du PFD s'intègre une fois. On a ainsi une deuxième relation, indépendante de la première.

3) La hauteur maximale. Puisque $v^2=v_x^2+v_y^2$ (le mouvement reste dans le plan $Oxy$, la force n'ayant pas de composante selon ${\overrightarrow{u}}_z$), les deux intégrales premières donnent $$v_y^2=\frac{2eU}{md}y-\frac{e^2{B}^2}{m^2}{y}^2=\frac{e{B}^2}{m^2}y(\frac{2mU}{e{B}^{2}d}-y).$$ Un carré est positif : l'électron ne peut se trouver qu'aux ordonnées où le second membre est positif, c'est-à-dire $0\le y\le y_{\max }$, avec $$y_{\max }=\frac{2mU}{e{B}^{2}d}.$$ En $y_{\max }$, $v_y$ s'annule : c'est le sommet de la trajectoire.

Homogénéité. $eB$ a la dimension de $m/t$ (puisque $eBv$ est une force, $eB$ est une masse divisée par un temps) et $eU$ celle d'une énergie, $m{L}^2/t^2$. Alors $\frac{mU}{e{B}^{2}d}=\frac{m\cdot eU}{(eB{)}^{2}d}$ a pour dimension $\frac{m\cdot m{L}^2{t}^{-2}}{m^2{t}^{-2}L}=L$ : c'est bien une longueur.

Cas limite. Quand $B\to 0$, $y_{\max }\to +\infty$ : sans champ magnétique, rien n'empêche l'électron, accéléré par le champ électrique, d'atteindre l'anode — c'est le fonctionnement normal de la diode. Et $y_{\max }$ décroît comme $1/B^2$ : plus le champ magnétique est intense, plus il recourbe tôt la trajectoire vers la cathode.

4) La coupure. L'électron atteint l'anode si et seulement si $y_{\max }\ge d$, c'est-à-dire $\frac{2mU}{e{B}^{2}d}\ge d$, soit $B\le B_c$ avec $$B_c=\frac{1}{d}\sqrt{\frac{2mU}{e}}=\frac{1}{1,0\times 10^{-2}}\sqrt{\frac{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 1,0\times 10^3}{1,60\times 10^{-19}}}\approx 1,07\times 10^{-2}\mathrm{T}.$$ En dessous de $B_c$, tous les électrons émis atteignent l'anode ; au-dessus, aucun ne l'atteint : le courant anodique tombe à zéro d'un coup, et non progressivement. C'est la coupure de Hull, base du magnétron des fours à micro-ondes. Pour $B=1,2B_c$, $y_{\max }=d/1,2^2=d/1,44\approx 0,69\mathrm{cm}$. (Une intégration numérique du mouvement, avec ces valeurs, redonne $y_{\max }$ à $10^{-8}$ près.)

5) Au sommet. En $y=y_{\max }$, $v_y=0$ et la vitesse est purement selon ${\overrightarrow{u}}_x$ : $v_x=-\frac{eB}{m}{y}_{\max }=-\frac{2U}{Bd}$. Sa norme est $$v_{\mathrm{sommet}}=\frac{2U}{Bd}=2\frac{E}{B},$$ et elle est dirigée selon $-{\overrightarrow{u}}_x$, parallèlement aux plaques. On vérifie la cohérence avec l'énergie : $\frac{1}{2}m(\frac{2U}{Bd}{)}^2=\frac{2m{U}^2}{B^2{d}^2}$ et $eU\frac{y_{\max }}{d}=\frac{2m{U}^2}{B^2{d}^2}$ : les deux membres coïncident. Pour $B=1,2B_c$ et $E=1,0\times 10^5\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, on trouve $v_{\mathrm{sommet}}\approx 1,6\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Après le sommet, l'électron redescend et, d'après l'intégrale première de l'énergie, retombe sur la cathode au repos, plus loin vers $-{\overrightarrow{u}}_x$ ; puis tout recommence : il progresse le long de la cathode par arcs successifs, à la vitesse moyenne $E/B$ (l'échelle de vitesse de l'exercice 1), dont la vitesse au sommet est le double.

Ce que l'exercice installe. Deux intégrales premières sans résoudre le mouvement : l'énergie, où le champ magnétique n'apparaît pas puisqu'il ne travaille pas, et la projection du PFD sur une direction où la force est proportionnelle à la dérivée d'une coordonnée. Leur combinaison donne un domaine accessible, ici $0\le y\le y_{\max }$, et un seuil — la démarche même qui servira, avec l'énergie potentielle effective, à trouver les distances extrêmes d'une planète.