Le spectromètre de masse mesure $m/q$, pas $m$

La stratégie. Deux étapes, deux théorèmes : le théorème de l'énergie cinétique pendant l'accélération, le mouvement circulaire dans le champ magnétique. Puis on lit la formule du rayon : de quoi dépend-elle, et de quoi ne dépend-elle pas ?

1) Le rayon. Dans le champ magnétique, la force est perpendiculaire à la vitesse, sa puissance est nulle, l'énergie cinétique et donc la norme de la vitesse restent constantes ; avec $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{B}$, la trajectoire est un cercle. L'accélération donne $\frac{1}{2}m{v}^2=qU$, et le rayon vaut $$R=\frac{mv}{qB}=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q/m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$ Après un demi-cercle, l'ion revient sur la ligne d'entrée à la distance $2R$ du point d'entrée (le diamètre).

2) Les isotopes du chlore. $$R_{35}=\frac{1}{0,10}\sqrt{\frac{2\times 34,969\times 1,661\times 10^{-27}\times 1000}{1,60\times 10^{-19}}}\approx 26,9\mathrm{cm},R_{37}\approx 27,7\mathrm{cm},$$ d'où un écart entre les impacts $\Delta =2(R_{37}-R_{35})\approx 1,5\mathrm{cm}$, parfaitement visible. Comme $R\propto \sqrt{m}$, la différentielle logarithmique donne $\frac{\Delta R}{R}\approx \frac{1}{2}\frac{\Delta m}{m}$ : un écart de masse relatif de $5,6\%$ produit un écart de rayon de $2,8\%$.

3) L'ambiguïté carbone-magnésium. La formule $R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q/m}}$ montre que la particule n'intervient que par le rapport $q/m$. Or $$(\frac{m}{q}{)}_{\mathrm{C}}=\frac{12,000u}{e},(\frac{m}{q}{)}_{\mathrm{Mg}}=\frac{23,985u}{2e}=\frac{11,9925u}{e}:$$ l'écart relatif n'est que de $6,3\times 10^{-4}$. Les rayons, environ $15,8\mathrm{cm}$, diffèrent de moitié moins en valeur relative, et les impacts sont séparés de $2\Delta R\approx 0,10\mathrm{mm}$. Sous une résolution $m/\Delta m$ de $1600$, un ion magnésium doublement chargé se fait passer pour un ion carbone. Un spectromètre de masse ne mesure pas des masses, il mesure des rapports masse sur charge ; la masse ne s'en déduit que si l'on connaît la charge.

4) Augmenter l'écart. $\Delta =\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2U}{e}}(\sqrt{m_{37}}-\sqrt{m_{35}})$ croît quand $B$ diminue ou quand $U$ augmente. Mais l'écart relatif $\Delta R/R$ ne change pas : on agrandit toute la trajectoire, donc l'appareil ; ce qui limite vraiment la séparation, c'est la largeur des taches (fentes, dispersion en énergie).

5) Le montage de Bainbridge. Si tous les ions entrent avec la même vitesse $v$, imposée par un sélecteur de vitesse (champs croisés, $v=E/B_0$), le rayon $R=\frac{mv}{q{B}^{\prime }}$ est proportionnel à $m/q$, et non plus à sa racine : $\frac{\Delta R}{R}=\frac{\Delta m}{m}$, deux fois plus qu'au 2). Pour les isotopes du chlore, l'écart relatif des rayons passe de $2,8\%$ à $5,6\%$. L'ambiguïté du 3) demeure : le rayon ne dépend toujours que de $m/q$.

6) Le contraste avec l'oscilloscope. À l'exercice 3, des particules accélérées sous la même tension puis déviées électriquement suivaient toutes la même trajectoire : un champ électrique ne trie pas. Ici, accélérées sous la même tension puis courbées magnétiquement, elles se séparent selon $m/q$ : un champ magnétique trie. La raison est dans les formules : la déviation électrique fait intervenir $qE/(m{v}^2)=E/(2U)$, où $q/m$ se simplifie avec l'énergie acquise ; la courbure magnétique fait intervenir $qB/(mv)$, où il reste $\sqrt{q/m}$.

Ce que l'exercice installe. Lire dans une formule ce que l'appareil mesure réellement — ici $m/q$ et non $m$ — et savoir construire le contre-exemple qui le prouve ; et comparer deux dispositifs par la dépendance de leur réponse aux paramètres de la particule.