Quand le poids compte-t-il ? De l'électron à la gouttelette de Millikan

Ce qu'on a le droit d'utiliser, et la stratégie. La force électrique $q\overrightarrow{E}$, la force magnétique $q\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}$, le poids $m\overrightarrow{g}$, la loi de Coulomb entre deux charges ponctuelles, de norme $\frac{|q_1{q}_2|}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$, et la loi de la gravitation, de norme $\frac{\mathcal{G}{m}_1{m}_2}{r^2}$. La stratégie est la même dans les quatre questions : avant d'écrire le principe fondamental de la dynamique, on forme le rapport sans dimension de deux forces, et c'est sa valeur qui décide de ce qu'on garde.

a) Électron et proton dans un champ de $10^4\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$. Pour l'électron, $$\frac{eE}{m_{e}g}=\frac{1,60\times 10^{-19}\times 1,0\times 10^4}{9,11\times 10^{-31}\times 9,81}\approx 1,8\times 10^{14}.$$ Pour le proton, $1836$ fois plus lourd, $\frac{eE}{m_{p}g}\approx 9,8\times 10^{10}$. Négliger le poids est une erreur relative de $10^{-11}$ au plus.

Le critère général se lit en divisant : $|q|E\gg mg$ équivaut à $\frac{m}{|q|}\ll \frac{E}{g}$. Le membre de gauche ne dépend que de la particule, le membre de droite que du champ. Pour l'électron, $\frac{m_e}{e}=5,7\times 10^{-12}\mathrm{kg}{\mathrm{C}}^{-1}$, et les deux forces seraient égales pour $$E^{\ast }=\frac{m_{e}g}{e}\approx 5,6\times 10^{-11}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ Le simple champ électrique de l'atmosphère par beau temps, de l'ordre de $100\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, lui est supérieur de douze ordres de grandeur. Pour un électron, un proton, un ion, le poids est toujours négligeable devant une force électrique.

b) Coulomb contre Newton. Entre deux électrons à la distance $r$, le rapport de la force électrostatique à la force gravitationnelle vaut $$\frac{e^2/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)}{\mathcal{G}{m}_e^2/r^2}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\mathcal{G}{m}_e^2}\approx 4,2\times 10^{42},$$ et entre deux protons $\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\mathcal{G}{m}_p^2}\approx 1,2\times 10^{36}$. La distance a disparu parce que les deux lois sont en inverse du carré de la distance : leur rapport est une constante propre au couple de particules, un nombre pur.

Pourquoi alors la gravitation gouverne-t-elle les planètes ? Parce que la matière est électriquement neutre à grande échelle : ses charges positives et négatives se compensent. La masse, elle, n'a pas de signe : les contributions des quelque $10^{51}$ nucléons d'une planète s'ajoutent sans jamais s'annuler. La force la plus faible l'emporte parce qu'elle est la seule à ne pas se neutraliser.

c) Force magnétique contre force électrique. Avec $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{B}$, la force magnétique a pour norme $|q|vB$, d'où $$\frac{F_m}{F_e}=\frac{|q|vB}{|q|E}=\frac{vB}{E}=\frac{1,0\times 10^6\times 0,10}{1,0\times 10^4}=10.$$ La force magnétique domine ici d'un facteur dix. Le critère est $v\gg E/B$, et il mérite une vérification d'homogénéité : $E$ s'exprime en $\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $B$ en $\mathrm{T}=\mathrm{V}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-2}$ (puisque $qvB$ et $qE$ sont deux forces), donc $E/B$ s'exprime en $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : le rapport $E/B$ est une vitesse. On la retrouvera, comme vitesse sélectionnée, dans l'expérience de Thomson.

d) Millikan. La masse de la gouttelette vaut $$m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3=900\times \frac{4}{3}\pi \times (1,0\times 10^{-6}{)}^3\approx 3,77\times 10^{-15}\mathrm{kg},mg\approx 3,70\times 10^{-14}\mathrm{N}.$$

Quelle plaque est positive ? Pour que la gouttelette reste immobile, la force électrique doit compenser le poids, donc être dirigée vers le haut. Sa charge $q=-ne$ est négative : la force $q\overrightarrow{E}$ est opposée à $\overrightarrow{E}$, donc $\overrightarrow{E}$ doit être dirigé vers le bas. Le champ électrique allant des potentiels élevés vers les potentiels bas, la plaque supérieure doit être positive.

Tension d'équilibre. Entre deux plaques planes, $E=U/d$. L'équilibre s'écrit $ne\frac{U_n}{d}=mg$, d'où $$U_n=\frac{mgd}{ne}\approx \frac{2,31\mathrm{kV}}{n},$$ soit $2,31\mathrm{kV}$, $1,16\mathrm{kV}$, $770\mathrm{V}$, $578\mathrm{V}$ et $462\mathrm{V}$ pour $n=1$ à $5$.

La quantification. Pour chaque gouttelette, dont on mesure la taille, on mesure la tension d'équilibre et l'on en déduit sa charge $|q|=mgd/U$. Si la charge était une grandeur continue, les valeurs obtenues seraient quelconques. Millikan a trouvé, sur des centaines de gouttelettes, des charges qui sont toutes des multiples entiers d'une même valeur — les tensions d'équilibre sont de la forme $U_1/n$, avec des « trous » entre elles. Le plus grand commun diviseur de ces charges est la charge élémentaire $e$. (Dans l'expérience réelle, le rayon est déduit de la vitesse limite de chute dans l'air ; la poussée d'Archimède ne corrige le poids que de $1,2/900\approx 0,13\%$.)

Pourquoi le a) ne s'applique pas. Le critère du a) compare $m/|q|$ à $E/g$. Ici $\frac{m}{|q|}=\frac{3,77\times 10^{-15}}{1,60\times 10^{-19}}\approx 2,4\times 10^4\mathrm{kg}{\mathrm{C}}^{-1}$ pour $n=1$, soit $4\times 10^{15}$ fois plus que pour un électron : la gouttelette porte une charge élémentaire pour plusieurs centaines de milliards d'atomes. Il faut un champ $E=mg/e\approx 2,3\times 10^5\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ pour équilibrer le poids, et c'est précisément ce que l'expérience exploite : le poids n'est pas négligeable, il est l'étalon contre lequel on pèse la charge.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe de comparer les forces par un rapport sans dimension avant d'écrire le PFD, et de lire ce rapport comme une condition sur la particule ($m/|q|$) et sur le champ ($E/g$, $E/B$). « Le poids est négligeable » n'est pas une loi de la nature, c'est le résultat d'un calcul qui dépend de l'objet : vrai pour une particule élémentaire, faux pour une gouttelette — et c'est cette exception qui a fourni la première mesure de la charge élémentaire.