Thomson pèse l'électron (1897)

La stratégie. Deux réglages macroscopiques ($E$ et $B$ pour annuler la déviation, puis $B$ seul pour courber) donnent deux équations, et deux équations suffisent à éliminer la vitesse, inconnue, pour isoler $e/m$.

1) Les deux forces. ${\overrightarrow{F}}_e=q\overrightarrow{E}=-eE{\overrightarrow{u}}_y$. Pour la force magnétique, ${\overrightarrow{u}}_x\wedge {\overrightarrow{u}}_z=-{\overrightarrow{u}}_y$, d'où ${\overrightarrow{F}}_m=-e(v{\overrightarrow{u}}_x)\wedge (B{\overrightarrow{u}}_z)=-evB(-{\overrightarrow{u}}_y)=evB{\overrightarrow{u}}_y$. Les deux forces sont portées par ${\overrightarrow{u}}_y$ et de sens opposés : la force électrique tire le faisceau vers les $y$ négatifs, la force magnétique vers les $y$ positifs.

2) La non-déviation. Le faisceau va en ligne droite à vitesse constante si la résultante est nulle (principe d'inertie), donc si $eE=evB$ : $$v=\frac{E}{B}=\frac{2,0\times 10^4}{2,0\times 10^{-3}}=1,0\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La charge s'est simplifiée, et la masse n'est jamais intervenue : la condition ne dépend que de la vitesse. Une particule plus rapide subit une force magnétique plus grande que la force électrique et est déviée vers les $y$ positifs ; une particule plus lente est déviée vers les $y$ négatifs. Avec deux fentes alignées, le dispositif ne laisse passer que la vitesse $E/B$ : c'est le filtre de Wien, ou sélecteur de vitesse. On retrouve la vitesse $E/B$ de l'exercice 1.

3) La courbure. Avec $\overrightarrow{B}$ seul, le mouvement est circulaire uniforme de rayon $R=\frac{mv}{eB}$, d'où $$\frac{e}{m}=\frac{v}{RB}=\frac{E}{R{B}^2},$$ en remplaçant $v$ par la valeur mesurée au 2). Le rapport $e/m$ ne s'exprime plus qu'en fonction de trois grandeurs macroscopiques : deux réglages et une longueur.

4) La mesure. $$\frac{e}{m}=\frac{1,0\times 10^7}{2,85\times 10^{-2}\times 2,0\times 10^{-3}}\approx 1,75\times 10^{11}\mathrm{C}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},$$ en accord avec $e/m_e=1,76\times 10^{11}\mathrm{C}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ calculé avec les constantes actuelles. C'est environ $1800$ fois le rapport de l'ion hydrogène. Si les rayons cathodiques portent la même charge, en valeur absolue, que l'ion hydrogène, ils sont près de deux mille fois plus légers que l'atome le plus léger : ce sont des corpuscules subatomiques, présents dans toute matière puisque le résultat ne dépend ni du gaz ni de la cathode. C'est la découverte de l'électron.

5) Ordres de grandeur. La vitesse $1,0\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ s'obtient sous une tension $U=\frac{m_e{v}^2}{2e}\approx 2,8\times 10^2\mathrm{V}$. Le rapport du poids à la force électrique vaut $\frac{m_{e}g}{eE}\approx 3\times 10^{-15}$ : il est négligeable. Et $v/c\approx 0,033$ : les corrections relativistes, de l'ordre de $(v/c{)}^2$, sont de $10^{-3}$.

Ce que l'exercice installe. La mesure d'une grandeur microscopique par des réglages macroscopiques : une condition d'équilibre élimine une inconnue (la vitesse), une seconde mesure isole la grandeur cherchée. Et la vitesse $E/B$, qui reviendra chaque fois que des champs électrique et magnétique croisés agissent ensemble.