Une bande de champ magnétique : déviation, réflexion, rigidité magnétique

La stratégie. Le cours (et l'exercice précédent) donnent le cercle ; tout le travail est géométrique : placer le centre, puis chercher où le cercle coupe les bords de la bande.

1) Le centre. Dans la bande, la particule est soumise à la seule force magnétique, avec une vitesse perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$ : elle décrit un cercle de rayon $R=\frac{mv}{|q|B}=\frac{p}{|q|B}$, parcouru à vitesse constante. Le rayon qui joint le centre au point courant est perpendiculaire à la vitesse ; en $O$, la vitesse est selon ${\overrightarrow{u}}_x$, donc le centre $C$ est sur l'axe $Oy$, à la distance $R$ de $O$, du côté où pointe la force initiale $qv{\overrightarrow{u}}_x\wedge \overrightarrow{B}=-qvB{\overrightarrow{u}}_y$ : vers les $y$ négatifs si $q>0$, vers les $y$ positifs si $q<0$. Pour fixer les idées, prenons $q<0$ (des électrons) : $C=(0,R)$, et la position après avoir tourné de l'angle $\phi$ autour de $C$ s'écrit $$x=R\sin \phi ,y=R(1-\cos \phi ),$$ la vitesse ayant elle-même tourné de $\phi$ par rapport à ${\overrightarrow{u}}_x$.

2) La déviation. L'abscisse $x=R\sin \phi$ croît de $0$ à $R$ quand $\phi$ va de $0$ à $\pi /2$. Si $R>\ell$, elle atteint $\ell$ avant le quart de tour, pour $$\sin \theta =\frac{\ell }{R},$$ et la particule sort de la bande avec une vitesse tournée de $\theta$ : c'est l'angle de déviation. Ensuite, sans force, elle file en ligne droite. Le décalage latéral à la sortie vaut $y_s=R(1-\cos \theta )$. Pour une faible déviation ($\ell \ll R$), $\theta \approx \ell /R$ et $y_s\approx \frac{{\ell }^2}{2R}$ : on retrouve, au premier ordre, une déviation proportionnelle au champ, comme pour un champ électrique.

3) La réflexion. Si $R\le \ell$, l'abscisse atteint son maximum $R$ au quart de tour sans sortir de la bande, puis décroît. La particule revient en $x=0$ pour $\phi =\pi$, au point $(0,2R)$, avec une vitesse tournée d'un demi-tour : $-v{\overrightarrow{u}}_x$. Elle est réfléchie, déplacée latéralement de $2R$, avec la même vitesse en norme. La bande joue le rôle d'un miroir pour toutes les particules telles que $R\le \ell$, c'est-à-dire $$p\le p_c=|q|B\ell .$$ La rigidité magnétique $B\rho =\frac{p}{|q|}$ (en $\mathrm{T}\mathrm{m}$) est le produit du champ par le rayon de courbure qu'il impose : c'est la difficulté à courber la particule. Une particule est réfléchie par une bande de champ $B$ et d'épaisseur $\ell$ si et seulement si sa rigidité est inférieure à $B\ell$. Deux particules de même rigidité ont la même trajectoire dans tout champ magnétique.

4) Le téléviseur. Le canon communique l'énergie $eU$ : $v=\sqrt{\frac{2eU}{m_e}}\approx 8,4\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $0,28c$. (À cette vitesse, la quantité de mouvement relativiste ne diffère de $\sqrt{2m_e{E}_c}$ que d'environ $1\%$ : le traitement newtonien reste acceptable pour un ordre de grandeur.) Pour $B=1,0\mathrm{mT}$, $$R=\frac{m_{e}v}{eB}\approx \frac{9,11\times 10^{-31}\times 8,4\times 10^7}{1,60\times 10^{-19}\times 1,0\times 10^{-3}}\approx 0,48\mathrm{m},\sin \theta =\frac{0,030}{0,48},\theta \approx 3,6°,$$ avec un décalage à la sortie de $0,94\mathrm{mm}$. Pour $\theta =50°$, il faut $R=\ell /\sin 50°\approx 3,9\mathrm{cm}$, donc $$B=\frac{m_{e}v}{eR}\approx 1,2\times 10^{-2}\mathrm{T}.$$ Une douzaine de millitesla suffit, et rien ne limite l'angle, au contraire de la déviation électrique, bornée par l'écart des plaques : d'où la déviation magnétique des téléviseurs.

5) Le bouclier. L'énergie cinétique $E_c=10\mathrm{MeV}=1,60\times 10^{-12}\mathrm{J}$ donne, en mécanique newtonienne ($v\approx 0,15c$), $p=\sqrt{2m_p{E}_c}\approx 7,3\times 10^{-20}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $$B\rho =\frac{p}{e}\approx 0,46\mathrm{T}\mathrm{m}.$$ Un champ de $1,0\mathrm{T}$ réfléchit ce proton s'il s'étend sur au moins $46\mathrm{cm}$. Le champ terrestre, de quelques dizaines de microteslas, joue ce rôle parce qu'il s'étend sur des milliers de kilomètres.

Ce que l'exercice installe. La construction du centre (sur la perpendiculaire à la vitesse, à la distance $R$) et la lecture géométrique d'une trajectoire circulaire coupée par des frontières ; la grandeur pertinente pour courber une particule, qui n'est ni sa vitesse ni son énergie mais sa rigidité $p/|q|$ — c'est elle qui fixe la taille de tous les aimants des accélérateurs.