La balance romaine

La stratégie. Le fléau n'est pas un point, mais un système de points. On établit d'abord les deux outils qui permettent de le traiter avec le théorème du moment cinétique du cours : le poids d'un système se comporte, pour les moments, comme s'il était appliqué au centre de masse ; et à l'équilibre, les forces intérieures disparaissent de la somme des moments.

1) Le moment du poids d'un système. Pour chaque point, ${\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O(m_i\overrightarrow{g})=\overrightarrow{O{M}_i}\wedge m_i\overrightarrow{g}$. Comme $\overrightarrow{g}$ est le même pour tous les points, la bilinéarité donne $$\sum _i\overrightarrow{O{M}_i}\wedge m_i\overrightarrow{g}=\left(\sum _i{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}\right)\wedge \overrightarrow{g}=m_f\overrightarrow{OG}\wedge \overrightarrow{g}=\overrightarrow{OG}\wedge m_f\overrightarrow{g},$$ par la définition du centre de masse, $m_f\overrightarrow{OG}={\sum }_i{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}$. Le moment total des poids est celui du poids total appliqué en $G$. Ce résultat suppose un champ de pesanteur uniforme, ce qui est le cas à l'échelle d'une balance.

2) Les forces intérieures disparaissent. Chaque point $M_i$ est immobile : son moment cinétique en $O$ est nul à chaque instant, et le théorème du moment cinétique donne $\overrightarrow{0}={\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O(\text{forces exteˊrieures sur }{M}_i)+{\sum }_{j\ne i}{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O({\overrightarrow{f}}_{j\to i})$. Sommons sur $i$. Les forces intérieures se regroupent par paires : ${\overrightarrow{f}}_{j\to i}=-{\overrightarrow{f}}_{i\to j}$, portées par la droite $M_i{M}_j$. Leurs moments en $O$ s'écrivent $\overrightarrow{O{M}_i}\wedge {\overrightarrow{f}}_{j\to i}+\overrightarrow{O{M}_j}\wedge {\overrightarrow{f}}_{i\to j}=(\overrightarrow{O{M}_i}-\overrightarrow{O{M}_j})\wedge {\overrightarrow{f}}_{j\to i}=\overrightarrow{M_j{M}_i}\wedge {\overrightarrow{f}}_{j\to i}=\overrightarrow{0}$, puisque ${\overrightarrow{f}}_{j\to i}$ est colinéaire à $\overrightarrow{M_j{M}_i}$. Il reste $\sum {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O(\text{forces exteˊrieures})=\overrightarrow{0}$, et en projetant sur $\overrightarrow{u}$, la somme des moments des forces extérieures par rapport à $\Delta$ est nulle.

3) L'équilibre. On oriente $\Delta$ de sorte qu'un moment qui tend à faire descendre le côté du crochet soit positif. Les forces extérieures au fléau sont : la force exercée par le crochet, égale au poids $Mg$ de l'objet (le fil qui le retient est tendu par ce poids, l'objet étant immobile), de bras de levier $a$ ; le poids du fléau, appliqué en $G$ d'après le 1), de bras de levier $b$, du même côté ; le poids du curseur, de bras de levier $x$, de l'autre côté ; la réaction de l'axe. Celle-ci s'exerce sur l'axe : sa droite d'action coupe $\Delta$ (et si elle est répartie le long de l'axe, chacune de ses parties aussi), son moment par rapport à $\Delta$ est nul, et c'est précisément pourquoi on écrit les moments par rapport à $\Delta$ : l'inconnue disparaît. Le fléau étant horizontal, tous les bras de levier sont des distances horizontales, et le 2) donne $$Mga+m_{f}gb-m_{c}gx=0⟹x=\frac{a}{m_c}M+\frac{m_{f}b}{m_c}.$$

4) La graduation. $x$ est une fonction affine de $M$ : la graduation est linéaire, avec un pas $\frac{a}{m_c}=\frac{5,0\mathrm{cm}}{0,50\mathrm{kg}}=10\mathrm{cm}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, et le zéro est décalé par le poids du fléau : $x_0=\frac{m_{f}b}{m_c}=2,0\mathrm{cm}$. Le curseur à $60\mathrm{cm}$ correspond à $M_{\max }=\frac{60-2,0}{10}=5,8\mathrm{kg}$ : un curseur d'un demi-kilogramme équilibre près de six kilogrammes, grâce au rapport des bras de levier, $x/a$, qui atteint douze. Une erreur de lecture $\delta x=1\mathrm{mm}$ donne $\delta M=\frac{m_c}{a}\delta x=10\mathrm{g}$ : la précision relative, $10\mathrm{g}$ sur quelques kilogrammes, est de l'ordre du pour cent au mieux, mais elle est la même sur toute l'échelle.

5) La réaction de l'axe. Le fléau est immobile, la somme des forces extérieures est nulle : la réaction est verticale, dirigée vers le haut, de norme $(M+m_f+m_c)g=6,8\times 9,81\approx 67\mathrm{N}$ à la charge maximale. On l'obtient sans jamais connaître son point d'application, une fois l'équilibre des moments résolu.

Ce que l'exercice installe. Deux outils qui serviront au chapitre du solide : le poids d'un système s'applique au centre de masse pour le calcul des moments, et les forces intérieures ne contribuent pas au moment total, parce qu'elles sont opposées deux à deux et portées par la même droite. Et la règle pratique : on écrit les moments par rapport à l'axe où s'applique l'inconnue qu'on veut éliminer.