La patineuse qui s'emballe

À l'entraînement, une patineuse termine sa chorégraphie par une pirouette. Bras tendus en croix, elle amorce sa rotation, puis ramène brusquement les bras le long du corps : sa vitesse de rotation augmente nettement, sans qu'aucune force horizontale ne l'ait poussée. Le frottement du patin sur la glace est négligeable, et le poids comme la réaction de la glace sont verticaux (selon l'axe de rotation). On modélise la patineuse par un système de points, de moment cinétique $L=J\omega$ par rapport à l'axe, où $J={\sum }_i{m}_i{r}_i^2$ ($r_i$ : distance du point à l'axe). On donne $J_1=4,8\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ (bras tendus), $J_2=1,6\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ (bras repliés), et ${\omega }_1=2,0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

• Qualitativement, pourquoi le moment cinétique autour de l'axe vertical se conserve-t-il pendant la figure ?
• Exprimer littéralement ${\omega }_2$ en fonction de $J_1$, $J_2$, ${\omega }_1$.
• Calculer ${\omega }_2$, puis le nombre de tours par seconde à la fin.
• L'énergie cinétique de rotation est-elle conservée ? Calculer $E_{c1}$ et $E_{c2}$ et interpréter.