Le fil qui s'enroule autour d'un poteau

La stratégie. C'est le piège symétrique de l'exercice précédent. On ne présuppose rien : on calcule la vitesse, le moment de la tension et le moment cinétique, et l'on regarde ce qui est nul.

1) La vitesse. La longueur totale du fil est constante : la partie enroulée, un arc de cercle de rayon $a$ et d'angle $\phi$, a pour longueur $a\phi$, et la partie libre $\ell$ ; d'où $\ell +a\phi ={\ell }_0$, et $\dot{\ell }=-a\dot{\phi }$. On dérive la position, avec $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{u}}_r}{\mathrm{d}t}=\dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }$ et $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{\mathrm{d}t}=-\dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_r$ : $$\overrightarrow{v}=a\dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }+\dot{\ell }{\overrightarrow{u}}_{\phi }-\ell \dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_r=(a\dot{\phi }+\dot{\ell }){\overrightarrow{u}}_{\phi }-\ell \dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_r=-\ell \dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_r.$$ Le fil est porté par ${\overrightarrow{u}}_{\phi }$ (il va du point de tangence au palet) : la vitesse est perpendiculaire au fil, donc à la tension. La puissance de la tension est nulle ; le poids et la réaction de la table, verticaux, ne travaillent pas non plus. Le théorème de l'énergie cinétique donne $v=v_0$ à chaque instant, et $v_0=\ell \dot{\phi }$.

2) Le moment de la tension. La tension exercée sur le palet est $\overrightarrow{T}=-T{\overrightarrow{u}}_{\phi }$, dirigée vers le point de tangence. Sa droite d'action est le fil, tangent au poteau : sa distance à l'axe est le rayon $a$. Par le calcul : $$\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{T}=(a{\overrightarrow{u}}_r+\ell {\overrightarrow{u}}_{\phi })\wedge (-T{\overrightarrow{u}}_{\phi })=-aT{\overrightarrow{u}}_z.$$ Le moment n'est pas nul : le moment cinétique par rapport à l'axe du poteau ne se conserve pas. Le contraste avec l'exercice 6 est complet :

• fil passant par un trou : tension dirigée vers l'axe, moment nul, $L$ conservé ; mais le palet se rapproche du trou en suivant le fil, la tension travaille, $E_c$ n'est pas conservée ;
• fil s'enroulant sur un poteau : tension perpendiculaire à la vitesse, puissance nulle, $E_c$ conservée ; mais la tension passe à la distance $a$ de l'axe, son moment vaut $-aT$, $L$ n'est pas conservé.

3) La loi d'enroulement. Le moment cinétique se calcule comme au 2) : $$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{v}=(a{\overrightarrow{u}}_r+\ell {\overrightarrow{u}}_{\phi })\wedge (-m\ell \dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_r)=m{\ell }^2\dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_z,$$ soit $L=m\ell (\ell \dot{\phi })=m{v}_0\ell$ : c'est la quantité de mouvement, de norme constante, multipliée par son bras de levier, la longueur libre. Comme $\dot{\ell }=-a\dot{\phi }=-\frac{a{v}_0}{\ell }$, on obtient $\ell \dot{\ell }=-a{v}_0$, c'est-à-dire $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\ell }^2\right)=-2a{v}_0$, et $${\ell }^2={\ell }_0^2-2a{v}_{0}t,\tau =\frac{{\ell }_0^2}{2a{v}_0}=\frac{1,0}{2\times 0,050\times 2,0}=5,0\mathrm{s}.$$ Le théorème du moment cinétique, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m{v}_0\ell )=-aT$, donne alors la tension sans aucune considération de courbure : $$T=-\frac{m{v}_0\dot{\ell }}{a}=\frac{m{v}_0}{a}\cdot \frac{a{v}_0}{\ell }=\frac{m{v}_0^2}{\ell }.$$ Le moment cinétique décroît de $L_0=m{v}_0{\ell }_0=0,20\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ à $0$.

4) Vérification par le PFD et rupture. À chaque instant, le palet se déplace perpendiculairement au segment qui le joint au point de tangence, à la distance $\ell$ : il décrit, instantanément, un cercle de rayon $\ell$ centré au point de tangence, à vitesse constante. Son accélération est normale, de norme $v_0^2/\ell$, dirigée vers le point de tangence, et le PFD donne $T=\frac{m{v}_0^2}{\ell }$ : les deux théorèmes concordent. La tension croît quand le fil raccourcit ; elle atteint $20\mathrm{N}$ pour $\ell =\frac{m{v}_0^2}{T}=\frac{0,10\times 4,0}{20}=2,0\mathrm{cm}$, à l'instant $t=\frac{{\ell }_0^2-{\ell }^2}{2a{v}_0}\approx 4,998\mathrm{s}$, une fraction de seconde avant l'enroulement complet. Le fil aura fait $\frac{{\ell }_0}{2\pi a}\approx 3,2$ tours sur le poteau.

Cas limite. Quand $a\to 0$, le poteau devient un clou : $\tau \to \infty$, $\ell$ reste égal à ${\ell }_0$ et le palet décrit un cercle de rayon ${\ell }_0$ autour du clou ; le moment de la tension, $-aT$, s'annule, et l'on retrouve la conservation du moment cinétique d'une force centrale. Le résultat général contient bien ce cas particulier.

Ce que l'exercice installe. On ne décrète pas une conservation, on la vérifie : ici la tension, perpendiculaire à la vitesse, conserve l'énergie mais pas le moment cinétique, parce que sa droite d'action ne passe pas par l'axe. Et le théorème du moment cinétique peut servir à calculer une force inconnue, ici la tension, une fois la cinématique connue.