Le pendule interrompu de Galilée

La stratégie. Le théorème du moment cinétique s'applique en un point fixe : ici il y en a deux, et l'on choisit à chaque phase celui autour duquel la masse tourne réellement. On raccorde les deux phases par la continuité de la vitesse, puis on utilise l'énergie pour comparer les hauteurs.

1) Deux théorèmes. Fil libre, la masse décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $\ell$ : $L_{{\Delta }_O}=m{\ell }^2\dot{\theta }$, le poids a pour moment $-mg\ell \sin \theta$, et la tension, portée par $OM$, a un bras de levier nul. D'où $m{\ell }^2\ddot{\theta }=-mg\ell \sin \theta$. Fil appuyé, la masse décrit un cercle de centre $K$, point fixe, de rayon ${\ell }^{\prime }$ ; la tension est portée par le brin $KM$, sa droite d'action passe par $K$ : $m{\ell }^{\prime 2}\ddot{\psi }=-mg{\ell }^{\prime }\sin \psi$. Dans chaque phase, la tension est portée par le brin qui passe par le centre de rotation : c'est ce qui la fait disparaître, et c'est pourquoi on choisit $O$ dans la première phase, $K$ dans la seconde.

2) Le raccord. Au passage à la verticale, la masse est au même point, et sa vitesse, horizontale, est continue (aucune force n'est infinie) : $\ell \dot{\theta }={\ell }^{\prime }\dot{\psi }$. D'où $$\frac{\dot{\psi }}{\dot{\theta }}=\frac{\ell }{{\ell }^{\prime }}=\frac{1,00}{0,36}\approx 2,78:$$ la vitesse angulaire saute, la vitesse ne saute pas. La tension, elle, saute : au point bas, la projection normale du PFD donne $T-mg=\frac{m{v}^2}{\ell }$ juste avant et $T^{\prime }-mg=\frac{m{v}^2}{{\ell }^{\prime }}$ juste après. Pour un lâcher depuis l'horizontale ($v^2=2g\ell$), $T=3mg$ et $T^{\prime }=mg(1+\frac{2\ell }{{\ell }^{\prime }})\approx 6,6mg$ : le fil doit supporter plus du double à l'instant où il touche le clou.

3) Petites oscillations. De chaque côté, l'équation linéarisée est celle d'un oscillateur harmonique, de pulsation $\sqrt{g/\ell }$ côté libre et $\sqrt{g/{\ell }^{\prime }}$ côté clou ; la masse passe une demi-période de chaque côté. La période vaut $$T_{\mathrm{osc}}=\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}+\pi \sqrt{\frac{{\ell }^{\prime }}{g}}=\pi (0,319+0,192)\approx 1,60\mathrm{s},$$ contre $2\pi \sqrt{\ell /g}\approx 2,01\mathrm{s}$ sans clou. Pour les amplitudes, la vitesse angulaire au passage est ${\theta }_m\sqrt{g/\ell }$ d'un côté, ${\psi }_m\sqrt{g/{\ell }^{\prime }}$ de l'autre ; le raccord $\ell \dot{\theta }={\ell }^{\prime }\dot{\psi }$ donne $\ell {\theta }_m\sqrt{g/\ell }={\ell }^{\prime }{\psi }_m\sqrt{g/{\ell }^{\prime }}$, d'où $$\frac{{\psi }_m}{{\theta }_m}=\sqrt{\frac{\ell }{{\ell }^{\prime }}}=\frac{5}{3}.$$ La même hauteur. La tension est toujours perpendiculaire à la vitesse (la masse est sur un cercle centré sur l'extrémité du brin), elle ne travaille pas : l'énergie mécanique se conserve, et la masse s'arrête à la même altitude des deux côtés. On le vérifie au premier ordre non nul : $\ell (1-\cos {\theta }_m)\approx \frac{\ell {\theta }_m^2}{2}$ et ${\ell }^{\prime }(1-\cos {\psi }_m)\approx \frac{{\ell }^{\prime }{\psi }_m^2}{2}=\frac{{\ell }^{\prime }}{2}\cdot \frac{\ell }{{\ell }^{\prime }}{\theta }_m^2$ : égalité. C'est l'argument par lequel Galilée montrait qu'un corps qui descend remonte à sa hauteur de départ, quel que soit le chemin.

4) Le tour du clou. Lâchée de l'horizontale, la masse arrive au point bas avec $v^2=2g\ell$, puis tourne autour de $K$. À l'angle $\psi$, l'énergie donne $v^2=2g\ell -2g{\ell }^{\prime }(1-\cos \psi )$. On projette le PFD sur le vecteur unitaire dirigé de $M$ vers $K$, selon lequel l'accélération normale vaut $v^2/{\ell }^{\prime }$ : la tension y compte pour $+T$, le poids pour $-mg\cos \psi$. D'où $$T=\frac{m{v}^2}{{\ell }^{\prime }}+mg\cos \psi =mg(\frac{2\ell }{{\ell }^{\prime }}-2+3\cos \psi ).$$ Le fil reste tendu sur tout le tour si $T\ge 0$ pour tout $\psi$ ; le minimum est au sommet, $\psi =\pi$ : $T_{\mathrm{sommet}}=mg(\frac{2\ell }{{\ell }^{\prime }}-5)\ge 0⟺{\ell }^{\prime }\le \frac{2\ell }{5}$, c'est-à-dire $\ell -a\le \frac{2\ell }{5}$. Ici ${\ell }^{\prime }=0,36\mathrm{m}\le 0,40\mathrm{m}$ : la masse fait le tour du clou, avec au sommet $T\approx 0,56mg$.

Ce que l'exercice installe. Le théorème du moment cinétique s'écrit en un point fixe, et l'on choisit le point par lequel passe la force qu'on ne connaît pas. Le raccord de deux phases par la continuité de la vitesse, et non de la vitesse angulaire. Et l'association des deux outils : le TMC donne l'équation du mouvement sans la tension, le PFD projeté donne la tension.