Le pendule sphérique : $L_z$ se conserve, ${\overrightarrow{L}}_O$ non

La stratégie. Deux quantités conservées, le moment cinétique selon l'axe vertical et l'énergie, pour deux inconnues aux points extrêmes, l'angle et la vitesse : c'est la méthode qui, au chapitre suivant, s'appellera énergie potentielle effective.

1) Le théorème du moment cinétique en $O$. Le point $O$ est fixe dans un référentiel galiléen. Les forces sont le poids $m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$ et la tension $\overrightarrow{T}$, portée par le fil, donc colinéaire à $\overrightarrow{OM}$ : son moment en $O$, $\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{T}$, est nul. Il reste $$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{g}.$$ Ce vecteur est orthogonal à $\overrightarrow{g}$, donc horizontal, et il n'est pas nul dès que $M$ n'est pas à la verticale de $O$ : ${\overrightarrow{L}}_O$ varie. Mais sa projection sur ${\overrightarrow{u}}_z$ est nulle : $\frac{\mathrm{d}{L}_z}{\mathrm{d}t}=(\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{g})\cdot {\overrightarrow{u}}_z=0$, puisque $\overrightarrow{g}$ est colinéaire à ${\overrightarrow{u}}_z$. Seule la composante verticale du moment cinétique se conserve. Par les bras de levier : le poids est parallèle à l'axe $Oz$, son moment par rapport à cet axe est nul ; la droite d'action de la tension passe par $O$, qui est sur l'axe, son bras de levier est nul. Le théorème scalaire par rapport à $Oz$ donne directement ${\dot{L}}_z=0$.

2) Les angles extrêmes. En coordonnées cylindriques, $\overrightarrow{OM}=\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }+z{\overrightarrow{u}}_z$ et $\overrightarrow{v}=\dot{\rho }{\overrightarrow{u}}_{\rho }+\rho \dot{\phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }+\dot{z}{\overrightarrow{u}}_z$. La composante verticale de $\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{v}$ ne fait intervenir que les composantes horizontales, et vaut $\rho \cdot \rho \dot{\phi }$ ; d'où $$L_z=m{\rho }^2\dot{\phi }=m\rho v_{\phi }.$$ Initialement, $L_z=m\ell \sin {\theta }_0{v}_0$. Par ailleurs, la tension est perpendiculaire à la vitesse, puisque $\Vert \overrightarrow{OM}\Vert$ est constant ($\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}O{M}^2=0$) : elle ne travaille pas, et l'énergie mécanique $\frac{1}{2}m{v}^2-mg\ell \cos \theta$ se conserve.

Aux angles extrêmes, $\dot{\theta }=0$, donc $\dot{\rho }=\ell \cos \theta \dot{\theta }=0$ et $\dot{z}=\ell \sin \theta \dot{\theta }=0$ : la vitesse est horizontale et orthoradiale, et vaut $v=\frac{L_z}{m\rho }=\frac{\ell \sin {\theta }_0{v}_0}{\ell \sin \theta }$. L'énergie donne l'équation des angles extrêmes : $$\frac{1}{2}\frac{v_0^2{\sin }^2{\theta }_0}{{\sin }^2\theta }-g\ell \cos \theta =\frac{1}{2}{v}_0^2-g\ell \cos {\theta }_0.$$ Elle a pour racine évidente ${\theta }_0$ ; l'autre racine se trouve numériquement (par dichotomie sur $]0,{\theta }_0[$) : ${\theta }_1\approx 31,7°$, où la vitesse vaut $3,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le point oscille entre deux cercles horizontaux, à $31,7°$ et à $60°$ de la verticale, en tournant autour de l'axe. (Une intégration numérique des équations du mouvement redonne ${\theta }_1$ à $10^{-5}$ degré près.)

3) Jamais à la verticale. L'énergie borne la vitesse : $v^2\le v_0^2+2g\ell (1-\cos {\theta }_0)=v_{\max }^2$. Or $|v_{\phi }|\le v$, d'où $\rho =\frac{|L_z|}{m|v_{\phi }|}\ge \frac{|L_z|}{m{v}_{\max }}>0$ si $L_z\ne 0$. La distance à l'axe ne peut pas s'annuler : passer par la verticale exigerait une vitesse orthoradiale infinie. C'est la première apparition d'une barrière centrifuge, que le chapitre des forces centrales formalisera par l'énergie potentielle effective.

4) Le pendule conique. On a ${\theta }_1={\theta }_0$ quand ${\theta }_0$ est racine double, c'est-à-dire quand la dérivée par rapport à $\theta$ du premier membre s'annule en ${\theta }_0$ : $$-\frac{v_0^2{\sin }^2{\theta }_0\cos \theta }{{\sin }^3\theta }{|}_{{\theta }_0}+g\ell \sin {\theta }_0=0⟺v_0^2=\frac{g\ell {\sin }^2{\theta }_0}{\cos {\theta }_0},$$ soit $v_0=\sqrt{\frac{9,81\times 1,0\times 0,75}{0,50}}\approx 3,84\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'angle reste constant : $M$ décrit un cercle horizontal à vitesse constante, c'est le pendule conique. Vérification par le PFD : sur la verticale, $T\cos {\theta }_0=mg$ ; sur la direction radiale horizontale, $T\sin {\theta }_0=\frac{m{v}_0^2}{\ell \sin {\theta }_0}$. Le quotient donne $v_0^2=g\ell \sin {\theta }_0\tan {\theta }_0$, la même valeur. Avec $v_0=2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, inférieure à $3,84$, la vitesse est trop faible pour tenir le cercle : le point descend, ce que confirme ${\theta }_1<{\theta }_0$.

Ce que l'exercice installe. Identifier ce qui se conserve, composante par composante : le moment des forces est horizontal, donc seule la composante verticale du moment cinétique est conservée ; et combiner deux intégrales premières pour trouver les positions extrêmes sans résoudre le mouvement.