Le tabouret de Joukovski — exercice corrigé de mécanique (PTSI) (chapitre 6)

Le tabouret de Joukovski

Moment cinétique · niveau 2

Énoncé

Léa s'assoit sur un tabouret pivotant sans frottement, bras écartés, tenant un haltère de $2, 0 kg$ dans chaque main, à $0, 80 m$ de l'axe vertical. On la lance : l'ensemble tourne à $2, 0 rad / s$ . Le moment d'inertie de son corps et du tabouret (sans haltères) vaut $J_{0} = 3, 0 kg m^{2}$ . Elle ramène les haltères à $0, 20 m$ de l'axe.

Justifier la conservation du moment cinétique par rapport à l'axe.
Calculer $J_{1}$ (initial) puis $J_{2}$ (final) de l'ensemble \{personne $+$ haltères\}.
En déduire $ω_{2}$ . Léa accélère-t-elle ?
Comparer l'énergie cinétique de rotation avant et après. D'où vient l'écart ?

Corrigé

1. L'axe est vertical et le pivot sans frottement : le poids (parallèle à l'axe) a un moment nul, la réaction du pivot s'applique sur l'axe (bras nul). Le moment des forces extérieures est nul, donc $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ .

2. Chaque haltère ( $m = 2, 0 kg$ à la distance $r$ ) apporte $m r^{2}$ ; pour les deux, $2 m r^{2}$ :

$J_{1} = J_{0} + 2 m r_{1}^{2} = 3, 0 + 2 \times 2, 0 \times 0, 8 0^{2} \approx 5, 6 kg m^{2},$

$J_{2} = J_{0} + 2 m r_{2}^{2} = 3, 0 + 2 \times 2, 0 \times 0, 2 0^{2} \approx 3, 2 kg m^{2} .$

3. $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1} = \frac{5 , 56}{3 , 16} \times 2, 0 \approx 3, 5 rad / s$ . Comme $J_{2} < J_{1}$ , $ω_{2} > ω_{1}$ : Léa accélère.

4. $E_{c 1} = \frac{1}{2} \times 5, 56 \times 2, 0^{2} \approx 11 J$ ; $E_{c 2} = \frac{1}{2} \times 3, 16 \times 3, 5 2^{2} \approx 20 J$ . L'énergie augmente d'environ $8 J$ : c'est le travail musculaire de Léa, qui tire les haltères vers l'axe pour les en rapprocher, converti en énergie de rotation.

Important

Ce que ça nous apprend. Quand le moment des forces extérieures est nul, $J ω$ reste constant : réduire le moment d'inertie augmente la vitesse de rotation. C'est le geste du patineur qui resserre les bras.