Problème : le système Terre-Lune, allongement du jour et éloignement de la Lune

1) Le moment cinétique orbital. La Lune, assimilée à un point, n'est soumise qu'à l'attraction de la Terre, de norme $\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{r^2}$, dirigée vers $O$. Sur une orbite circulaire de rayon $r$, le mouvement est uniforme (la force est perpendiculaire à la vitesse) et l'accélération est centripète, de norme $v^2/r$. La projection radiale du PFD donne $$M_L\frac{v^2}{r}=\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{r^2}⟹v=\sqrt{\frac{\mathcal{G}{M}_T}{r}}\approx 1,02\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La vitesse est orthoradiale, et le moment cinétique en $O$ vaut $$L_o=M_{L}rv=M_L\sqrt{\mathcal{G}{M}_{T}r}=7,35\times 10^{22}\times \sqrt{6,67\times 10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}\times 3,84\times 10^8}\approx 2,87\times 10^{34}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Il est perpendiculaire au plan de l'orbite, orienté par le sens de révolution : la Lune tourne autour de la Terre dans le même sens que la Terre tourne sur elle-même, et ${\overrightarrow{L}}_o$ est parallèle à l'axe des pôles, de même sens que la rotation terrestre. On retient surtout la dépendance $L_o\propto \sqrt{r}$ : une Lune plus lointaine a plus de moment cinétique, bien qu'elle aille moins vite.

2) Le moment cinétique de la Terre. Chaque point $M_i$ décrit un cercle de rayon ${\rho }_i$ autour de l'axe des pôles, à la vitesse angulaire $\omega$ ; son moment cinétique par rapport à l'axe est $m_i{\rho }_i^2\omega$ (exercice 1, en polaires). Pour le système, la somme donne $$L_s=\sum _i{m}_i{\rho }_i^2\omega =J\omega .$$ Avec $\omega =\frac{2\pi }{T_j}\approx 7,29\times 10^{-5}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ — c'est le jour sidéral qui convient, puisque la rotation se mesure par rapport à un référentiel galiléen, lié aux étoiles, et non par rapport au Soleil — on trouve $L_s\approx 5,83\times 10^{33}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$. Le rapport vaut $\frac{L_o}{L_s}\approx 4,9$ : l'essentiel du moment cinétique du système est dans l'orbite de la Lune, et non dans la rotation de la Terre.

3) Pourquoi la somme se conserve. Le système est isolé : les seules forces sont intérieures. Elles s'exercent entre les points de la Terre et la Lune, et entre les points de la Terre eux-mêmes ; chacune de ces interactions est formée de deux forces opposées portées par la droite qui joint les deux points, et la somme de leurs moments en $O$ est nulle (c'est l'argument établi pour la balance romaine). L'hypothèse « $O$ fixe » ajoute la force qui maintient le centre de la Terre en place, mais elle s'applique en $O$ : son moment en $O$ est nul. Le théorème du moment cinétique, sommé sur tous les points, donne donc $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(L_s+L_o)=0$.

Ce qui est conservé est la somme ; chaque terme peut varier, par échange. Le mécanisme est celui des marées : la Lune déforme les océans en deux bourrelets alignés sur elle. Mais la Terre tourne sur elle-même en un jour, beaucoup plus vite que la Lune ne tourne autour d'elle (en un mois) ; le frottement entraîne les bourrelets, qui se retrouvent en avance d'un petit angle sur la direction de la Lune. L'attraction de la Lune sur le bourrelet le plus proche ne passe donc plus par l'axe des pôles : elle a un bras de levier non nul, et son moment s'oppose à la rotation de la Terre, que $L_s$ diminue. Réciproquement, le bourrelet en avance tire la Lune un peu vers l'avant, avec une composante le long de sa vitesse : son moment en $O$ est positif, et $L_o$ augmente d'autant.

4) L'éloignement de la Lune. Comme $L_o=M_L\sqrt{\mathcal{G}{M}_T}{r}^{1/2}$, la dérivée logarithmique donne $\frac{{\dot{L}}_o}{L_o}=\frac{1}{2}\frac{\dot{r}}{r}$. La conservation impose ${\dot{L}}_o=-{\dot{L}}_s=-J\dot{\omega }$. Or $\omega =2\pi /T_j$, donc $\frac{\dot{\omega }}{\omega }=-\frac{{\dot{T}}_j}{T_j}$ et ${\dot{L}}_s=-L_s\frac{{\dot{T}}_j}{T_j}$. En rassemblant : $$\dot{r}=2r\frac{{\dot{L}}_o}{L_o}=2r\frac{L_s}{L_o}\frac{{\dot{T}}_j}{T_j}.$$ L'allongement du jour vaut ${\dot{T}}_j=2,3\mathrm{ms}$ par siècle, soit $2,3\times 10^{-5}\mathrm{s}$ par an. D'où, par an : $$\dot{r}=2\times 3,84\times 10^8\times \frac{1}{4,93}\times \frac{2,3\times 10^{-5}}{86164}\approx 4,2\times 10^{-2}\mathrm{m},$$ soit environ $4,2\mathrm{cm}$ par an. La télémétrie laser, qui mesure la distance de la Lune au centimètre près grâce aux réflecteurs déposés par les missions Apollo, donne $3,8\mathrm{cm}$ par an. L'accord, à dix pour cent près, est remarquable pour un modèle aussi simple ; l'écart s'explique en partie par les marées dues au Soleil, qui freinent elles aussi la rotation terrestre sans pousser la Lune, et par les hypothèses (orbite dans le plan équatorial, centre de la Terre fixe). Homogénéité : $\dot{r}$ a bien la dimension de $r$ multiplié par un rapport sans dimension et divisé par un temps.

5) L'énergie dissipée. L'énergie cinétique de rotation de la Terre est ${\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i({\rho }_i\omega {)}^2=\frac{1}{2}J{\omega }^2$. L'énergie mécanique de la Lune sur son orbite circulaire est $\frac{1}{2}{M}_L{v}^2-\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{r}$, et le 1) donne $M_L{v}^2=\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{r}$, d'où $-\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{2r}$. On dérive : $$\dot{\mathcal{E}}=J\omega \dot{\omega }+\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{2r^2}\dot{r}=-J{\omega }^2\frac{{\dot{T}}_j}{T_j}+\frac{\mathcal{G}{M}_T{M}_L}{2r^2}\dot{r}.$$ Avec $\frac{{\dot{T}}_j}{T_j}\approx 8,5\times 10^{-18}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\dot{r}\approx 1,3\times 10^{-9}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, le premier terme vaut $-3,60\mathrm{TW}$ et le second $+0,13\mathrm{TW}$ : $\dot{\mathcal{E}}\approx -3,5\mathrm{TW}$. Le moment cinétique se conserve, l'énergie mécanique ne se conserve pas : la rotation terrestre perd de l'énergie, l'orbite lunaire n'en récupère qu'une petite partie (quatre pour cent), et le reste est dissipé par le frottement des courants de marée, surtout dans les mers peu profondes. C'est le cinquième environ de la consommation mondiale d'énergie primaire : les usines marémotrices ne prélèvent qu'une infime partie de cette puissance.

6) L'état final. Quand le jour devient égal au mois, plus aucun bourrelet n'est en avance : l'échange cesse. La conservation du moment cinétique total, $L=L_s+L_o\approx 3,46\times 10^{34}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$, et la condition de synchronisme donnent l'équation $$J\sqrt{\frac{\mathcal{G}{M}_T}{r_f^3}}+M_L\sqrt{\mathcal{G}{M}_T{r}_f}=L_s+L_o.$$ Sa résolution numérique (par dichotomie) donne $r_f\approx 5,52\times 10^8\mathrm{m}\approx 1,44r$, et une période commune $\frac{2\pi }{{\omega }_f}\approx 47$ jours. L'approximation $L_s\ll L_o$ consiste à négliger le premier terme, puisque la rotation terrestre, déjà minoritaire, sera devenue très lente : $\sqrt{r_f/r}\approx \frac{L_s+L_o}{L_o}=1+\frac{1}{4,93}$, d'où $r_f\approx 1,45r$ et une période de $48$ jours, très proche. L'équation a une autre racine, $r\approx 1,4\times 10^7\mathrm{m}$ (une Lune en orbite synchrone en moins de cinq heures), qui n'est pas atteignable : la Lune s'éloigne. (Au rythme actuel, il faudrait déjà quatre milliards d'années pour franchir les $1,7\times 10^8\mathrm{m}$ qui restent ; et l'effet des marées faiblit très vite quand la Lune s'éloigne : l'état final est hors d'atteinte avant la fin de vie du Soleil.)

Le résultat établi — la récession de la Lune par effet de marée. Le moment cinétique du système Terre-Lune se conserve ; les marées en transfèrent de la rotation terrestre vers l'orbite lunaire. Un allongement du jour de $2,3\mathrm{ms}$ par siècle impose à la Lune de s'éloigner d'environ $4\mathrm{cm}$ par an, au prix d'une dissipation de $3,5\mathrm{TW}$, et l'évolution tend vers un état synchrone où jour et mois dureraient environ $47$ jours.

Ce que le problème installe. La conservation du moment cinétique d'un système isolé, qui autorise des échanges entre ses parties ; le fait que le moment cinétique et l'énergie obéissent à des bilans indépendants, l'un conservé, l'autre dissipé ; et une méthode d'astronome : d'une mesure faite sur Terre (la durée du jour) déduire, par une loi de conservation, un mouvement céleste (l'éloignement de la Lune) qu'aucun instrument de l'époque ne pouvait mesurer directement.