Écrire en base deux, à la main

On applique le procédé du cours : multiplier par deux, garder la partie entière, recommencer sur le reste.

$0,5$. $0,5\times 2=1,0\to 1$, reste $0$ : on s'arrête. $0,5={\overline{0,1}}^2$.

$0,75$. $0,75\times 2=1,5\to 1$, reste $0,5$ ; puis $0,5\times 2=1,0\to 1$, reste $0$. $0,75={\overline{0,11}}^2$.

$0,125$. $\to 0$ (reste $0,25$), $\to 0$ (reste $0,5$), $\to 1$ (reste $0$). $0,125={\overline{0,001}}^2$.

$0,625$. $\to 1$ (reste $0,25$), $\to 0$ (reste $0,5$), $\to 1$ (reste $0$). $0,625={\overline{0,101}}^2$.

Les quatre ont une écriture finie, et ce n'est pas un hasard : ce sont $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{5}{8}$ — quatre fractions dont le dénominateur réduit est une puissance de deux.

Règle générale. Une fraction $p/q$ écrite sous forme irréductible a un développement binaire fini si et seulement si $q$ est une puissance de $2$. La raison : une écriture binaire finie à $n$ rangs vaut $m/2^n$, donc son dénominateur réduit divise $2^n$.

Contrôle : ${\overline{0,101}}^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=0,625$ $✓$ — et l'on vérifie à la machine avec 0.625.hex() ou simplement en constatant que 0.5 + 0.125 == 0.625 vaut True : ces trois-là sont exacts, l'égalité de flottants est ici sans danger.