L'addition des flottants n'est pas associative

(a) Les deux expressions valent respectivement $0,0$ et $1,0$ :

>>> (1.0 + 1e16) - 1e16
0.0
>>> 1.0 + (1e16 - 1e16)
1.0

Même somme mathématique, deux résultats. L'associativité, vraie sur $\mathbb{R}$, est fausse sur les flottants.

(b) L'absorption. Un flottant garde $53$ bits de mantisse. Au voisinage de $10^{16}$, deux flottants consécutifs sont distants de $2$ (car $2^{53}\approx 9,0\times 10^{15}$, donc $10^{16}$ vit entre $2^{53}$ et $2^{54}$, où le pas vaut $2^{54-53}=2$). Ajouter $1,0$, c'est demander un nombre situé entre deux flottants voisins : l'arrondi le ramène au plus proche, qui est le point de départ. Le petit nombre est absorbé — il disparaît sans erreur ni avertissement.

(c) Oui, l'ordre change tout :

>>> s = 1e16
>>> for _ in range(10):
...     s = s + 1.0
>>> s
1e+16
>>> s = 0.0
>>> for _ in range(10):
...     s = s + 1.0
>>> s + 1e16
1.000000000000001e+16

Dans le premier ordre, les dix unités sont absorbées une par une : on en perd dix. Dans le second, elles s'accumulent d'abord jusqu'à $10,0$ — qui, lui, n'est plus négligeable devant le pas de $2$ — puis la somme est faite une seule fois.

Conclusion pratique. Pour sommer beaucoup de termes, additionner les plus petits d'abord (trier par valeur absolue croissante), ou utiliser math.fsum, qui garantit le résultat correctement arrondi.

Contrôle : math.fsum([0.1] * 1000) rend exactement 100.0, là où la boucle naïve rend 99.9999999999986 — une erreur de $1,4\times 10^{-12}$ accumulée en mille additions.