Écrire une boucle bornée et une boucle non bornée qui calculent toutes…

Une boucle qui ne s'arrête jamais. Il suffit que le test reste vrai indéfiniment :

i = 0
while i < 10:
    print(i)          # on n'a pas touche a i : la condition reste vraie

L'erreur typique n'est pas d'écrire while True — celle-là se voit — mais d'oublier la ligne qui fait progresser la variable de contrôle.

Une boucle dont on ne sait pas compter les tours, mais qui s'arrête. Le nombre de divisions par deux de l'exercice précédent en est déjà un exemple. En voici un plus net, la suite de Syracuse :

def syracuse_vol(n):
    """Nombre d'etapes pour ramener n a 1 par la regle de Collatz."""
    etapes = 0
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        etapes = etapes + 1
    return etapes

print(syracuse_vol(7), syracuse_vol(27))     # 16 111

Personne ne sait prédire ce nombre sans dérouler la boucle : pour $n=27$, elle fait $111$ tours et la valeur monte jusqu'à $9232$ avant de redescendre. Sur les $n$ de $1$ à $999$, le maximum est $178$ tours.

Honnêteté : l'arrêt de cette boucle n'est pas démontré pour tout $n$ — c'est la conjecture de Collatz, ouverte depuis 1937. On l'a vérifiée sur des valeurs immenses, ce qui, comme un jeu de tests, ne prouve rien. On y revient dans la banque supplémentaire.

Un exemple à terminaison certaine serait préférable pour illustrer la seconde question : while n > 1: n = n // 2 s'arrête toujours, car $n$ décroît strictement dans $\mathbb{N}$, et l'on ne peut pas décroître indéfiniment dans les entiers positifs. C'est ce qu'on appellera un variant de boucle au chapitre 7.