Écrire produit matrices(a, b)

def produit_matrices(a, b):
    """Produit matriciel a x b.

    Precondition  : a et b sont non vides, a lignes de meme longueur, et
                    len(a[0]) == len(b) : autant de colonnes a a que de
                    lignes a b.
    Postcondition : le resultat a len(a) lignes et len(b[0]) colonnes.
    """
    assert len(a) > 0 and len(b) > 0
    assert all(len(l) == len(a[0]) for l in a)
    assert all(len(l) == len(b[0]) for l in b)
    assert len(a[0]) == len(b), "dimensions incompatibles"
    n, p, q = len(a), len(a[0]), len(b[0])
    c = [[0] * q for _ in range(n)]          # jamais [[0]*q]*n !
    for i in range(n):
        for j in range(q):
            s = 0
            for k in range(p):
                s = s + a[i][k] * b[k][j]
            c[i][j] = s
    assert len(c) == n and len(c[0]) == q
    return c

La précondition qui relie les dimensions. Si $a$ est de taille $n\times p$ et $b$ de taille $p^{\prime }\times q$, le produit n'a de sens que si $p=p^{\prime }$ : le coefficient $c_{ij}$ est la somme des $a_{ik}{b}_{kj}$, et il faut que $k$ parcoure le même ensemble d'indices des deux côtés. La ligne assert len(a[0]) == len(b) l'exprime exactement. Sans elle, Python lèverait un IndexError au milieu de trois boucles imbriquées — message inutilisable ; avec elle, l'erreur est signalée à l'entrée, avec sa cause.

Le nombre de multiplications. La boucle la plus interne s'exécute une fois par triplet $(i,j,k)$, soit $n\times q\times p$ fois, et fait exactement une multiplication. Pour deux matrices carrées de taille $n$, cela fait $n^3$ multiplications : passer de $n=100$ à $n=1000$ multiplie le travail par mille, pas par dix.

Vérification.

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]
assert produit_matrices(A, B) == [[58, 64], [139, 154]]

I3 = [[1 if i == j else 0 for j in range(3)] for i in range(3)]
assert produit_matrices(A, I3) == A          # neutre a droite

for _ in range(200):                          # 200 produits aleatoires
    n, p, q = random.randint(1, 4), random.randint(1, 4), random.randint(1, 4)
    a = [[random.randint(-5, 5) for _ in range(p)] for _ in range(n)]
    b = [[random.randint(-5, 5) for _ in range(q)] for _ in range(p)]
    c = produit_matrices(a, b)
    for i in range(n):
        for j in range(q):
            assert c[i][j] == sum(a[i][k] * b[k][j] for k in range(p))

Contrôle à la main du premier coefficient : $1\times 7+2\times 9+3\times 11=7+18+33=58$. Et produit_matrices(B, B) est bien refusé par la précondition : $B$ est $3\times 2$, on ne peut pas la multiplier par elle-même.