Ce qu'on voit par une fenêtre : le retour inverse

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique

Énoncé

Un observateur, l'œil à $a = 2, 0$ m derrière une fenêtre de largeur $ℓ = 1, 0$ m (œil dans l'axe de la fenêtre), regarde une façade parallèle au mur, à $L = 20$ m de la fenêtre. On travaille dans un plan horizontal, et l'on assimile l'œil à un point.

1) On place par la pensée une lampe ponctuelle à la place de l'œil. Construire la zone de la façade qu'elle éclaire. À l'aide du principe du retour inverse, montrer que c'est exactement la zone que l'observateur peut voir.

2) Calculer la largeur de façade visible.

3) Cas limites : que devient cette largeur quand l'observateur colle l'œil à la fenêtre ( $a \to 0$ ) ? Quand il recule très loin ( $a \to \infty$ ) ? Interpréter.

4) Un passant se tient en un point $M$ de la façade. Montrer qu'il voit l'œil de l'observateur si et seulement si l'observateur le voit.

5) Un judas sans lentille est un tube de longueur $e = 5, 0$ cm et de diamètre $1, 0$ cm, l'œil collé au centre d'une extrémité. Quel est le demi-angle du champ visible ? Quel serait le demi-angle maximal d'un rayon capable de traverser le tube de part en part ?

Corrigé

La stratégie. « Que voit l'œil ? » est une question sur les rayons qui arrivent à l'œil ; elle est difficile parce que ces rayons viennent de partout. « Qu'éclaire une lampe placée à l'œil ? » est une question sur les rayons qui partent d'un point ; elle se résout par une construction. Le principe du retour inverse dit que ces deux familles de rayons sont les mêmes, parcourues en sens contraire.

1) La construction, puis l'équivalence. Construction : depuis le point $O$ (la lampe), on trace les deux rayons limites qui passent par les bords $B_{1}$ et $B_{2}$ de la fenêtre, et on les prolonge jusqu'à la façade, qu'ils coupent en $M_{1}$ et $M_{2}$ . Tout rayon issu de $O$ et passant par la fenêtre est compris entre ces deux rayons ; tout rayon hors de cet angle est arrêté par le mur. La zone éclairée de la façade est le segment $[M_{1} M_{2}]$ .

Équivalence. Soit $M$ un point de la façade. L'observateur voit $M$ si et seulement si un rayon issu de $M$ atteint $O$ , c'est-à-dire si le segment $[M O]$ traverse la fenêtre (milieu homogène : le seul trajet possible entre $M$ et $O$ est la droite). Par le principe du retour inverse, ce même trajet parcouru de $O$ vers $M$ est un rayon de la lampe, et il atteint $M$ si et seulement si $M$ est éclairé. Donc la zone visible est exactement la zone éclairée $[M_{1} M_{2}]$ . Le point délicat est de ne pas confondre les deux sens : ce sont les rayons qui arrivent à l'œil qui font la vision ; le retour inverse permet de les tracer comme s'ils en partaient.

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