Dispersion : loi de Cauchy et constringence

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique

Énoncé

L'indice d'un verre dépend de la longueur d'onde dans le vide (on dit que le verre est dispersif). On modélise cette dépendance par la loi de Cauchy (modèle donné, hors programme comme tel) : $n (λ_{0}) = A + \frac{B}{λ _{0}^{2}} .$ Le catalogue du verrier donne, pour trois raies de référence (F bleue, D jaune, C rouge) :

verre	$n_{F}$ (486,13 nm)	$n_{D}$ (589,29 nm)	$n_{C}$ (656,27 nm)
crown BK7	1,52238	1,51680	1,51432
flint F2	1,63208	1,62004	1,61503

1) Quelle est la dimension de $B$ ? Dans le verre, quelle couleur va le plus vite ?

2) Déterminer $A$ et $B$ pour le BK7 à partir des seules raies $F$ et $C$ .

3) Prédire $n_{D}$ avec ce modèle et comparer à la valeur du catalogue. Conclure sur la qualité du modèle.

4) On définit la constringence (ou nombre d'Abbe) $V = \frac{n _{D} - 1}{n _{F} - n _{C}}$ . La calculer pour les deux verres. Lequel est le plus dispersif ? Pourquoi un opticien a-t-il besoin des deux ?

5) Que vaut $n$ dans la limite $λ_{0} \to \infty$ selon le modèle ? Le modèle peut-il valoir jusque dans l'ultraviolet lointain, où le verre devient opaque ? (Réponse qualitative.)

Corrigé

La stratégie. Un modèle à deux paramètres s'ajuste sur deux mesures ; il ne prouve rien tant qu'il n'a pas prédit une troisième mesure qu'on n'a pas utilisée. C'est la démarche qu'on applique ici : ajuster sur $F$ et $C$ , tester sur $D$ .

1) Dimension et vitesse. $n$ est sans dimension, donc $B / λ_{0}^{2}$ aussi : $B$ est homogène à une longueur au carré (on l'exprimera en $m^{2}$ ou en $μ m^{2}$ ). Comme $B > 0$ (les données montrent que $n$ décroît quand $λ_{0}$ croît), le bleu a l'indice le plus grand ; or $v = c / n$ : dans le verre, le rouge va le plus vite et le bleu le moins vite. C'est l'origine de la décomposition de la lumière blanche par un prisme : le bleu, plus dévié, sort de son côté.

2) Ajustement sur $F$ et $C$ . On écrit les deux équations $n_{F} = A + B / λ_{F}^{2}$ et $n_{C} = A + B / λ_{C}^{2}$ , et l'on soustrait : $B = \frac{n _{F} - n _{C}}{\frac{1}{λ _{F}^{2}} - \frac{1}{λ _{C}^{2}}} = \frac{0 , 00806}{4 , 2316 \times 1 0 ^{12} - 2 , 3219 \times 1 0 ^{12}} = 4, 22 \times 1 0^{- 15} m^{2} = 4, 22 \times 1 0^{- 3} μ m^{2},$ puis $A = n_{F} - B / λ_{F}^{2} = 1, 52238 - 0, 01786 = 1, 5045$ .

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