Éclairer une table : la loi en $1/ r^{2}$

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique

Énoncé

Une lampe assimilée à une source ponctuelle rayonne une puissance lumineuse $P$ , de façon isotrope. On appelle éclairement $E$ d'une petite surface la puissance lumineuse qu'elle reçoit par unité d'aire (cette notion de photométrie n'est pas au programme : elle est définie ici, et sert d'outil).

1) En considérant la sphère de rayon $r$ centrée sur la source, et le fait que la puissance se propage le long des rayons sans se perdre dans un milieu transparent, montrer que l'éclairement d'une surface perpendiculaire aux rayons vaut $E = \frac{P}{4 π r ^{2}}$ .

2) Une petite surface reçoit les rayons sous l'incidence $θ$ (angle entre les rayons et la normale à la surface). Montrer que $E = \frac{P cos θ}{4 π r ^{2}}$ .

3) La lampe est à la hauteur $h$ à la verticale du centre d'une table ronde de rayon $x = 0, 80$ m. Exprimer l'éclairement $E (h)$ au bord de la table.

4) Quelle hauteur rend cet éclairement maximal ? La calculer, ainsi que le rapport des éclairements au centre et au bord pour cette hauteur.

5) Cas limites : que vaut $E$ au bord quand $h \to 0$ et quand $h \to \infty$ ? Interpréter physiquement chacun des deux.

6) Ordre de grandeur : au-dessus de l'atmosphère, la Terre reçoit du Soleil, sous incidence normale, $E_{⊙} = 1361 W m^{- 2}$ (la constante solaire), à la distance $1, 496 \times 1 0^{11}$ m. En déduire la puissance rayonnée par le Soleil.

Corrigé

La stratégie. Le rayon lumineux est, dans le cours, la ligne le long de laquelle se propage l'énergie. Si l'énergie suit les rayons et que les rayons issus d'un point sont des demi-droites, la puissance qui traverse une sphère centrée sur la source est la même quel que soit son rayon. Tout le reste en découle.

1) La loi en inverse carré. Le milieu est transparent : aucune puissance n'est absorbée entre deux sphères concentriques de rayons $r_{1} < r_{2}$ , et aucune ne sort d'un faisceau puisqu'elle suit les rayons. La puissance totale qui traverse la sphère de rayon $r$ est donc $P$ , quel que soit $r$ . Comme l'émission est isotrope, elle est répartie uniformément sur l'aire $4 π r^{2}$ , et chaque élément de la sphère est perpendiculaire aux rayons qui le traversent (ce sont des rayons de la sphère). D'où $E_{⊥} (r) = \frac{P}{4 π r ^{2}} .$ Homogénéité : des watts par mètre carré. Lecture : doubler la distance divise l'éclairement par quatre ; ce n'est pas une propriété de la lumière, c'est la conservation de l'énergie dans un faisceau qui s'élargit.

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