Éclipses : la longueur du cône d'ombre
Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique
Énoncé
Le Soleil, de rayon km, est à km de la Terre. La Lune, de rayon km, est à une distance de la Terre (de centre à centre) qui varie de km au périgée à km à l'apogée ; sa distance moyenne est km. Le rayon terrestre vaut km. On travaille dans un plan contenant les centres, la Lune étant alignée entre le Soleil et la Terre.
1) On remplace d'abord le Soleil par une source ponctuelle. Décrire l'ombre portée par la Lune. Pourquoi est-elle nette ?
2) Le Soleil est en fait une source étendue. Construire, à l'aide des rayons issus des bords du Soleil et tangents à la Lune, la zone d'ombre et la zone de pénombre. Que voit un observateur placé dans chacune ?
3) Le cône d'ombre de la Lune se referme en un point . Par des triangles semblables, montrer que sa longueur, comptée depuis la Lune, vaut , où est la distance Soleil-Lune. Calculer .
4) Comparer à la distance entre la Lune et la surface terrestre au périgée, à la distance moyenne et à l'apogée. En déduire dans quel cas l'éclipse est totale et dans quel cas elle est annulaire (un anneau de Soleil reste visible autour de la Lune).
5) Montrer que la condition obtenue équivaut à comparer les diamètres apparents de la Lune et du Soleil vus par l'observateur, et vérifier numériquement.
6) Au périgée, calculer le diamètre de la tache d'ombre sur une surface perpendiculaire à l'axe, au niveau du sol. Expliquer pourquoi la totalité n'est visible que le long d'une bande étroite. Estimer de même le diamètre de la pénombre.
Corrigé
La stratégie. Tout repose sur la propagation rectiligne : une zone est dans l'ombre si aucun rayon issu de la source ne l'atteint, dans la pénombre si une partie seulement des points de la source l'éclairent. Les frontières sont donc tracées par des rayons limites — tangents à la fois à la source et à l'obstacle — et les longueurs se calculent par des triangles semblables (Thalès).
1) Source ponctuelle : une ombre nette. Les rayons issus du point source et tangents à la Lune forment un cône de sommet ; derrière la Lune, l'intérieur de ce cône ne reçoit aucun rayon. En tout point de l'espace, la question « un rayon issu de arrive-t-il ici ? » a une réponse par oui ou par non : il n'y a que deux zones, éclairée et sombre, et la frontière est nette. Ce cône d'ombre s'élargit indéfiniment derrière l'obstacle.
2) Source étendue : ombre et pénombre, la construction. On trace, dans le plan de la figure, quatre rayons limites :
- les deux rayons qui joignent le bord supérieur du Soleil au bord supérieur de la Lune, et le bord inférieur au bord inférieur (tangentes « extérieures ») : ils se croisent sur l'axe en un point derrière la Lune ; entre eux, derrière la Lune, se trouve un cône qui ne reçoit de lumière d'aucun point du Soleil : c'est l'ombre ;
- les deux rayons qui joignent le bord supérieur du Soleil au bord inférieur de la Lune, et le bord inférieur au bord supérieur (tangentes « intérieures ») : ils se croisent entre le Soleil et la Lune, puis s'écartent ; la région comprise entre ces rayons et le cône d'ombre reçoit la lumière d'une partie du Soleil seulement : c'est la pénombre.
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