L'indice de l'air

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique

Énoncé

À $0^{\circ}$ C et sous $P_{0} = 1013$ hPa, l'indice de l'air dans le visible vaut $n_{0} = 1 + 2, 93 \times 1 0^{- 4}$ . On admet la loi de Gladstone-Dale : $n - 1$ est proportionnel à la masse volumique $ρ$ du gaz. L'air est assimilé à un gaz parfait.

1) Montrer que $n - 1$ est proportionnel à $P / T$ . Calculer l'indice de l'air à $2 0^{\circ}$ C sous $P_{0}$ . Que devient $n$ quand $P \to 0$ ? Justifier ainsi, sur cet exemple, que $n \geq 1$ .

2) Un télémètre laser mesure une distance $L$ par temps de vol aller-retour, en supposant que la lumière va à la vitesse $c$ . L'air est à $2 0^{\circ}$ C sous $P_{0}$ . Quelle erreur commet-il sur $L = 1, 000$ km, et dans quel sens ?

3) On veut la distance au millimètre près. À quel écart de température moyenne le long du trajet la mesure est-elle sensible ?

4) Au-dessus d'une route en plein soleil, l'air est à $6 0^{\circ}$ C au ras du bitume et à $3 0^{\circ}$ C à hauteur d'œil, sous la même pression $P_{0}$ . Calculer l'écart d'indice $Δ n$ entre ces deux couches. Dans quel sens l'indice varie-t-il avec l'altitude ? (Cette valeur resservira dans le TD du chapitre suivant, pour le mirage.)

Corrigé

La stratégie. « L'indice de l'air vaut $1$ » est une approximation, pas une valeur. On en mesure l'écart : il est de quelques $1 0^{- 4}$ , il dépend de l'état du gaz, et il suffit à fausser une mesure de précision ou à courber un rayon.

1) $n - 1$ proportionnel à $P / T$ . Pour un gaz parfait de masse molaire $M$ , $P V = \frac{m}{M} R T$ , donc $ρ = \frac{m}{V} = \frac{M P}{R T}$ . La loi de Gladstone-Dale $n - 1 = K ρ$ donne $n - 1 = \frac{K M}{R} \frac{P}{T} donc n - 1 = (n_{0} - 1) \frac{P}{P _{0}} \frac{T _{0}}{T} .$ À $2 0^{\circ}$ C sous $P_{0}$ : $n_{20} - 1 = 2, 93 \times 1 0^{- 4} \times \frac{273 , 15}{293 , 15} = 2, 73 \times 1 0^{- 4} .$ Quand $P \to 0$ , $ρ \to 0$ et $n \to 1$ : le gaz raréfié tend vers le vide, d'indice exactement $1$ . Comme $ρ \geq 0$ et que la constante de Gladstone-Dale est positive pour les gaz transparents dans le visible, $n - 1 \geq 0$ : la lumière ne va jamais plus vite dans le gaz que dans le vide, ce qui est la condition $n = c / v \geq 1$ du cours, retrouvée sur cet exemple.

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