La limite de diffraction de l'œil et des télescopes

Exercice · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice

Énoncé

Le modèle du rayon ignore la diffraction, mais celle-ci impose une limite ultime à la finesse des images : deux points ne sont séparables que si leur écart angulaire dépasse $θ \approx \frac{λ}{D}$ , où $D$ est le diamètre de l'ouverture ( $λ = 550 nm$ ).

Pour la pupille de l'œil ( $D \approx 3 mm$ ), calculer $θ$ , puis le plus petit détail discernable à $25 cm$ (distance de lecture).

Pour le télescope Hubble ( $D = 2.4 m$ ), calculer $θ$ .

Pourquoi construit-on des télescopes toujours plus grands ?

Corrigé

1. $θ = \frac{λ}{D} = \frac{550 \times 1 0 ^{- 9}}{3 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1.8 \times 1 0^{- 4} rad$ . À $25 cm$ , le plus petit détail vaut $θ \times 0, 25 \approx 4.6 \times 1 0^{- 5} m \approx 46 μ m$ (l'épaisseur d'un cheveu) : cohérent avec l'acuité visuelle.

2. $θ = \frac{550 \times 1 0 ^{- 9}}{2 , 4} \approx 2.3 \times 1 0^{- 7} rad$ , soit près de $1000$ fois plus fin que l'œil.

3. La résolution s'améliore quand $D$ augmente ( $θ \propto 1/ D$ ) : un grand miroir voit des détails plus fins (et capte plus de lumière). C'est la diffraction, pas l'optique géométrique, qui fixe cette limite.

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